Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

Введение в анализ - Яковлев Г.П.

Яковлев Г.П. Введение в анализ — МФТИ, 2002. — 25 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedeniyevanalis2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 10 >> Следующая

Для наглядности действительные числа изображают точками прямой, на которой выбрано направление и начало отсчета. Поэтому множество К. всех действительных чисел часто называют действительной (числовой) прямой (или осью), а действительные числа — точками этой прямой.
Напомним, что множество всех х е Я таких, что а < х < Ь, называется отрезком числовой прямой К и обозначается [а; Ь], а множество всех х е Я : а < х < Ь называется интервалом и обозначается (а; Ь).
1. Используя кванторы V и 3, сформулируйте свойство, которое в множестве всех бесконечных десятичных дробей выделяет конечные десятичные дроби.
2. Дайте определение периодической десятичной дроби.
3. Дайте определение соотношения а Ф в ?
4. Доказать, что 0,99...9... = 1; 0,199...9... = 0,2.
5. Доказать, что две разные десятичные дроби равны тогда и только тогда, когда одна из них
конечная, а другая периодическая с периодом 9.
6. Доказать, что если а = в, а в = У, то а = у т.е. что равенство обладает свойством транзитивности.
7. Существуют ли десятичные дроби а и в такие, что
3п1 : (а) п < (в) щ ,
3^2 :(а) п2 > (в) п2?
8. Доказать, что Vа е Я
а) п < а) п+^ (а) п > (а) п+1 Vn ,
(а)п <а< (а)п^.
9. Доказать, что а < в тогда и только тогда, когда
3п :(а) п < (в) п .
10. Доказать, что понятия "меньше" и "больше" обладают свойством транзитивности, т.е. если а < в, а в <У, то а <у .
11. Доказать, что для любых а, в е Я выполняется одно и только одно из трех соотношений : а < в, а = в или а > в ?
12. Доказать, что любой интервал числовой прямой содержит конечную десятичную дробь. Верно ли это утверждение для произвольного промежутка числовой прямой?
13. Под окрестностью заданной точки числовой прямой будем понимать любой интервал, содержащий эту точку. Доказать, что любые две точки числовой прямой имеют непересекающиеся окрестности.
§ 3.
Предел числовой последовательности
Пусть имеется правило, которое каждому n е N ставит в соответствие некоторое an е R Тогда множество всевозможных пар (n;an) называется числовой
последовательностью и обозначается либо {an} либо an, n е N, либо a1,a2,...,ап,....
Пара (п;ап) называется n-м элементом этой последовательности и обычно обозначается просто ап. Число n называется номером, а число an — значением n-го элемента.
Последовательность {хп} называется ограниченной сверху, если 3M : Vnxn < M. Если же Зш : Vnxn > m , то {xn} называется ограниченной снизу. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.
Последовательность {xn} называется монотонно возрастающей, если Vnxn < xn+1. Если же Vnxn > xn+1, то {xn} называется монотонно убывающей. Последовательность
называется монотонной, если она или монотонно возрастающая, или монотонно убывающая.
Последовательность {xn} называется строго возрастающей, если Vnxn < xn+1. Если
же Vnxn > xn+1 то {xn} называется строго убывающей. Строго возрастающие и строго
убывающие последовательности называются строго монотонными.
Последовательность {yk} называется подпоследовательностью последовательности {xn}, если
vk 3n = nk : yk = xnt,
причем {nk} строго возрастает. Эта подпоследовательность обозначается {xnk} .
Число х называется пределом последовательности {xn}, если
V(a; b) э x 3N: Vn > N xn е (a; b) . (1)
Любой интервал (a; b) э x называется окрестностью числа (или точки) х и обозначается О(х). Поэтому условие (1) можно записать еще и так:
VO(x) 3N: Vn > N xn е O(x).
В этом случае пишут lim xn = x или “ xn ^ x при n ” и говорят, что
последовательность {xn} сходится к х.
Такие пределы называются конечными. Наряду с ними рассматриваются и бесконечные пределы. А именно, если
VM 3N: Vn > N xn > M,
то пишут lim xn =+w или “xn ^+w при n ” и говорят, что {xn} сходится к + w.
n—
Если же
Vm 3N: Vn > N xn < m, то пишут lim xn = —w и говорят, что {xn} сходится к - w .
n—w
Доказать следующие утверждения:
1. Последовательность {хп} ограничена тогда и только тогда, когда
ЗМ : Уп | xn |< M .
2. У любого x е R последовательности {(х)п} и {(х)п} ограничены.
3. У любого х е R последовательность {(х)п} возрастает, а {(х)п} монотонно убывает.
4. Если монотонная последовательность {хп} целых чисел ограничена, то она стационарная, т.е.
3N: Уп > N хп = xN .
5. Любая строго монотонная последовательность целых чисел является неограниченной.
6. Если монотонно возрастающая (убывающая) последовательность целых чисел является неограниченной, то у нее есть строго возрастающая (убывающая) подпоследовательность.
7. Любая числовая последовательность может иметь только один предел (конечный или
бесконечный).
8. Любая стационарная последовательность имеет конечный предел.
9. lim 10- п = 0.
п^да
10. Для любого х е R lim(x)п = х, lim(x)п = х.
п^да п^да
11. Последовательность хп = (-1)п ? 0,1, п е N, не имеет предела (ни конечного, ни бесконечного).
12. Если последовательность {хп} неограничена и монотонно возрастает (убывает), то lim хп = +да (соответственно lim хп =-да ).
п^да п^да
13. Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена. Справедливо ли обратное утверждение?
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 10 >> Следующая