Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

Введение в анализ - Яковлев Г.П.

Яковлев Г.П. Введение в анализ — МФТИ, 2002. — 25 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedeniyevanalis2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 .. 10 >> Следующая

14. Если последовательность сходится к +да, то она ограничена снизу и неограничена сверху. Если же она сходится к - да, то она ограничена сверху и неограничена снизу.
15. У любой неограниченной сверху (снизу) последовательности существует подпоследовательность, сходящаяся к + да (соответственно к - да ).
16. Если последовательность имеет предел (конечный или бесконечный), то и любая ее подпоследовательность сходится к тому же пределу.
17. Если монотонная последовательность действительных чисел ограничена, то она имеет конечный предел.
18. Для любого к е N limпк = +да.
п^да
19. Привести пример последовательностей {хп} и {уп}, имеющих одно и то же множество значений и таких, что
1) {хп} и {уп} сходятся, но lim хп Ф lim уп;
п^да п^да
2) {хп} сходится, а {уп} расходится.
20. Если последовательности {хп} и {уп} сходятся к разным пределам, но у них множества значений совпадают, то эти множества конечные.
21. Если последовательность {хп} такая, что х2к ^ а, х2к-1 ^ b и а Ф b, то она
расходится. Если же а = b, то lim хп = а .
п^да
22. У любой последовательности есть монотонная подпоследовательность.
§ 4.
Арифметика действительных чисел
Для любых действительных чисел а и Ь предел последовательности тп = (а) п + (Ь) п, п е N, называется суммой чисел а и Ь и обозначается а+Ь, а предел последовательности хп = (а) п (Ь) п, п е N, называется произведением чисел а и Ь и обозначается аЬ. Таким образом, по определению,
а + Ь = НтЦа) п + (Ь) п)
п—ю
аЬ = Нт(а)п(Ь)п •
п—ю
Для заданного числа а число Ь такое, что а+Ь=0, называется противоположным и обозначается -а, а число х такое, что ах=1, называется обратным и обозначается а-1. По определению,
а - Ь = а + (-Ь), а = а ? Ь -1.
Ь
Доказать следующие утверждения.
1. Для любых а, Ь е Я
Нш((а)п + (Ь)п ) = а + Ь , Нш((а)п + (Ь)п ) = а + Ь ?
п—ю п—ю
2. Сумма любых двух действительных чисел существует и определена однозначно.
3. Сложение двух действительных чисел обладает свойством ассоциативности, т.е.
(а + Ь) + с = а + (Ь + с) У а, Ь, с е Я .
4. Любое действительное число имеет противоположное, и притом единственное.
5. Для любого а е Я —(—а)=а.
6. Для любых а, Ь е Я —(а+Ь)=(—а)+(—Ь ).
7. Для любых а,Ь е Я
11т(а)п(Ь)п = аЬ , Иш(а)п(Ь)п = аЬ .
п^ю п^ю
8. Произведение любых двух действительных чисел существует и определено однозначно.
9. Операции сложения и умножения действительных чисел связаны свойством дистрибутивности, т.е.
а(Ь + с) = аЬ + ас У а, Ь, с е Я .
10. Умножение действительных чисел обладает свойством ассоциативности, т.е.
а(Ьс) = (аЬ)с У а, Ь, с е Я .
11. Для умножения справедливы правила знаков, т.е.
а(-Ь) = -(аЬ), (-а)(-Ь) = аЬ У а, Ь е Я .
12. Любое действительное число а Ф 0 имеет обратное, и притом единственное.
13. Для любого а Ф 0 (-а)-1 = -(а) , (а~')= а.
14. Для любых а Ф 0 и Ь Ф 0 а? Ь= (аЬ)-1.
а
15. Для дробей вида — а,Ь е Я и Ь Ф 0, справедливы обычные правила сложения,
Ь
вычитания, умножения и деления.
16. Нт— = 0; Нт~~ = 0.
п^ю п п^ю п
(Заметим, что здесь еще нет теоремы о пределе произведения.)
17. Если последовательность {хп} имеет конечный предел, то
йш(схп) = с Нт(хп) Ус е Я .
п^ю п—>ю
18. Если 0 < а < 1, то Нтап = 0 .
п—ю
19. Если \q\ < 1, то последовательность Sn = ^ qk , n е N, сходится. Чему равен этот
к=1
предел?
20. Если а — периодическая десятичная дробь, то а — рациональное число.
21. Если lim an = а, то
n—w
.а + а2 +...+an
lim
n—w n
Справедливо ли обратное утверждение?
§ 5. Предел суммы, разности, произведения и частного
Пусть заданы две числовые последовательности {an} и {bn}. Тогда последовательности с n-ми членами
х = а + b , у = а - b ,
n n n ’ ? n n n ’
z = ab, u = а / b
n n n ’ n n n
называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным данных последовательностей и обозначаются {an + bn}, {an - bn}, {anbn} , {an / bn}.
Доказывается, что если последовательности {an} и {bn} имеют конечные пределы а и b, то
ШиК ± bn) = а ± b , lim апbn = аЬ .
n——w n——w
Если, кроме того, bn Ф 0 Vn и b Ф 0, то
lim Ol = Л . b„ b
n—w
n
Последовательность называется бесконечно малой, если она сходится к нулю.
Последовательность {xn} называют бесконечно большой и пишут lim xn = w, если
n—w
lim \ xn \= +w .
n—w
Доказать следующие утверждения.
1. Последовательность {xn} сходится к х0 тогда и только тогда, когда
W > 0 3Ne :Vn > Ne хп е O?(х0), где О(хо) — s-окрестность точки х0, т.е. O? (х0) = (х0 - ?, х0 + ?) .
2. Сумма, разность и произведение бесконечно малых последовательностей тоже являются бесконечно малыми последовательностями. Справедливо ли аналогичное утверждение для частного бесконечно малых
последовательностей?
3. Произведение бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность. Справедливы ли аналогичные утверждения для суммы, разности и частного двух бесконечно больших последовательностей?
4. Если lim bn = b, то lim \ bn \=\ b \. Справедливо ли обратное утверждение?
n—w n—w
5. Если liman = а , а Ф 0 и limbn = 0, то
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 .. 10 >> Следующая