Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

Введение в анализ - Яковлев Г.П.

Яковлев Г.П. Введение в анализ — МФТИ, 2002. — 25 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedeniyevanalis2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 .. 10 >> Следующая

n—w n—w
lim — = w
n—w b
n
6. Если nk е N и lim = +w, то
к—w
7. Для любого к е N
lim(1 + —)Пк = e .
к —ш п,
lim(1 + -1)кп = ек .
п—ш к
к
8. Последовательность хп = (1 + —)n, п е N , при любом к е N монотонно возрастает и
п
lim xn = e .
9. Для любого а > 1 и любого целого к
lim — = 0.
п—ш аП
а
10. lim— = 0 У а е R
п—ш п!
пкап
11. lim = 0 У а е R, У к е R.
п—ш п!
2 п2
12. lim = +ш .
п—ш п!
13. Если последовательность {ап} неограниченная, то последовательность
п
SH = У ак тоже неограниченная.
к=1
14. Найти пределы:
п1
1) lim У -----;
п—ш к=1 к (к +1)
2) limy
1
п—ш к=1 к (к + 2) ’ 1
3) limy
п—ш к=1 к (к + 3)
§ 6.
Степени и логарифмы
Напомним, что для любого числа а > 0 и любого п е N число х > 0 такое, что хп = а,
называется арифметическим корнем п-й степени из а и обозначается у а или ап. Доказывается, что у любого неотрицательного числа существует арифметический корень п-й степени и притом только один.
Для любого а > 0 и любого рационального числа r = p / п, где р целое, а п -
натуральное, число (yf?)p называется степенью числа а с показателем r и обозначается
аг
Для любого а > 0 и любого x е R, по определению,
ах = lim а(x)п
п——ш
Пусть b > 0 и b Ф1. Тогда для любого а > 0 число с такое, что bc = а, называется логарифмом числа а по основанию b и обозначается logьа. Так что, по определению,
= а.
п—ш
Доказать следующие утверждения.
1. Уравнение x2 = a при любом a > 0 имеет точно два решения.
2. Уравнение x3 = a при любом a е R в множестве действительных чисел имеет только
одно решение.
3. Если r = p / n и a > 0, то = ar.
4. Для любого a > 0 lim ^a = 1.
n—w
5. Для любого a > 0 и любого x е R
lim a(x)n = ax .
n—w
J2
6. Степень 2 существует.
7. Логарифм log23 существует.
8. Если lim xn = +w , то lim(1 + —)xn = e .
n—w n—w x
n
9. Если lim xn = x0, причем x0 > 0 и xn > 0 Vn, то
lim x<a = xa Vа е R .
n—w
10. limln(1 + -1) = 0.
n—w n
а
11. lim(1 + -)n = ea Vaе R .
n—w n
12. lim—= 0 Va> 0.
n—w na
13. Если lim xn = x0 , то
n—w
limaxn = ax° Va > 0.
14. Если lim xn = x0, причем x0 > 0 и xn > 0 Vn, то
limlnx = lnx0.
n 0
n—w
15. limlog an =+w Va > 1.
n—w
16. liml0ga n = 0 Va > 0, a Ф1.
n—w n
17. liml0gan = 0 Va > 1 Va> 0.
n—w na
n
18. Если последовательность Sn =^ak , n еN , сходится, то liman = 0. Справедливо ли
n k n—w n
k=1
обратное утверждение?
19. Если an > 0 Vn е N и liman = a, то
n—w
lim^a1a2...an = a .
a
20. Если an > 0 Vn е N и lim—^— = a, то
n n—w an
21. Для любого n е N
lim n0n = a.
nY i fnY
d <n!<el2).
n—w
n—w
22. Для любого п е N
1 1(1 1 1 1
?< 1п| 1 + — I < —.
п +1 ^ п) п
23. Нш V~п = 1.
п^да
п1
24. Если а > 1, то последовательность хп = ^ — сходится, а если а < 1, то расходится.
к=1 п
§ 7. Принцип вложенных отрезков, теорема Больцано-Вейерштрасса и критерий Коши
Последовательность промежутков А п, п е N , называется последовательностью вложенных промежутков, если А п+1 еА п ^ .
Принцип вложенных отрезков. У любой последовательности вложенных отрезков действительной прямой существует хотя бы одна общая точка.
1. По аналогии с действительной прямой множество О всех рациональных чисел называется рациональной прямой. Справедлив ли принцип вложенных отрезков для рациональной прямой?
2. Справедливо ли утверждение: у любой последовательности вложенных интервалов действительной прямой существует хотя бы одна общая точка?
3. Доказать, что для любой последовательности вложенных отрезков А п множество
да
IАп является отрезком.
п=1
4. Привести пример последовательности вложенных интервалов, имеющих одну общую точку.
Теорема Больцано-Вейерштрасса. У любой ограниченной последовательности действительных чисел существует сходящаяся подпоследовательность.
Предел любой подпоследовательности данной последовательности называется ее частичным пределом. Наибольший (наименьший) из частичных пределов последовательности {хп} называется верхним (нижним) пределом последовательности {хп} и обозначается Ншхп (соответственно Нш хп).
п^да п^да
Доказать следующие утверждения.
5. Если {уп} — последовательность частичных пределов последовательности {хп}, и Нш уп = у0, то у о — тоже частичный предел последовательности {хп}.
п^да
6. Ограниченная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она имеет единственный частичный предел.
7. Если последовательности {хп} и {уп} ограничены сверху, то
НпДхп + Уп) < Ншхп + Шпуп.
п^да п^да п^да
8. Если последовательности {хп} и {уп} ограничены снизу, то
Нш( хп + Уп) > 1!ш хп + Нш Уп.
п у п г ------------- п У п
п^да п^да п^да
9. Если последовательности {хп} и {уп} ограничены, то
Нш хп + НшУп < Нт(хп + Уп).
п^да п^да п^да
10. Для того чтобы последовательность {хп} была бесконечно малой, необходимо и достаточно, чтобы
Нт | хп |= 0 .
п—ю
11. Найти все частичные пределы последовательности
(-1) Пп ХТ
х = -—-—, п еМ . п 2п +1
12. Указать последовательность, для которой каждое натуральное число является частичным пределом.
13. Построить последовательность, для которой каждое х е[0;1] является частичным пределом.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 .. 10 >> Следующая