Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

Введение в анализ - Яковлев Г.П.

Яковлев Г.П. Введение в анализ — МФТИ, 2002. — 25 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedeniyevanalis2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 .. 10 >> Следующая

Последовательность {хп} называется фундаментальной или сходящейся в себе, если она удовлетворяет условию Коши, т.е. если
Уа> 0 ЗУг: Уп >Уг, Уда >Уг | хп - хт |<е.
Критерий Коши. Для того чтобы последовательность действительных чисел сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Доказать следующие утверждения.
14. Последовательность {хп} действительных чисел сходится тогда и только тогда, когда
Уе> 0 ЗN: Уп > N | хп - хN |<е.
15. Если последовательность {аЦ ограничена и |^|< 1, то последовательность
п
= ^ akqk, n g N, сходится.
k=1
16. Последовательность xn = 1 + — +... + —, n eN , расходится, причем lim xn = +ro .
2 n n^X}
2 n
x x 2 xn
17. Последовательность xn = 1 + — + — +... +—p, сходится при любом x e R.
§ 8.
Множества точек числовой прямой
Множество X е R называется ограниченным сверху (снизу), если
ЗЪ : Vx е X x < Ъ (соответственно x > b ).
Любое такое число Ъ называется верхней (нижней) гранью множества X.
Наименьшую из верхних граней множества X обычно называют точной верхней гранью множества X и обозначают sup X, а наибольшую из нижних граней называют его точной нижней гранью и обозначают inf X.
Если множество X является неограниченным сверху (снизу), то, по определению, sup X = +ГО (соответственно inf X = -(Ю ).
Доказать следующие утверждения.
1. У любого непустого множества действительных чисел, ограниченного сверху (снизу), в множестве R существует точная верхняя (нижняя) грань. Указать ограниченное множество рациональных чисел, у которого в множестве Q нет точной верхней (нижней) грани.
2. Если М — множество всех частичных пределов последовательности {xn}, то
lim xn = supM lim xn = inf M.
n^r-° n^o>
3. Для любой последовательности {xn} последовательность an = inf xk, n gN , имеет
k >n
предел и
lim an = lim xn.
n'
n^w
Здесь inf xk = inf{xn , Xn+1V"}
k >n
4. Для любой последовательности {xn} последовательность Ъп = sup xk, n eN, имеет
k>n
предел и
Hm Ъп = lim xn.
n^w n^w
Совокупность некоторых множеств называется покрытием данного множества, если любая его точка принадлежит некоторому множеству этой совокупности.
Лемма. Если некоторая совокупность интервалов покрывает заданный отрезок, то существует конечное число интервалов из этой совокупности, которые тоже покрывают данный отрезок.
Коротко эту лемму формулируют так:
Из любого покрытия отрезка интервалами можно выделить конечное покрытие.
Справедливы ли следующие утверждения?
5. Из любого покрытия отрезка отрезками можно выделить конечное покрытие.
6. Из любого покрытия интервала интервалами можно выделить конечное покрытие.
7. Очевидно, что система интервалов (n-0,1;n + 0,1),n eN, покрывает множество N. Можно ли из этой системы интервалов выделить конечное покрытие множества N?
Напомним, что два множества называются равномощными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие. Множество, равномощное множеству N всех натуральных чисел, называется счетным.
Доказать следующие утверждения.
8. Множество всех конечных десятичных дробей счетно.
9. Множество Q всех рациональных чисел счетно.
10. Множество R всех действительных чисел несчетно.
11. Построит), взаимно однозначное соответствие между точками отрезков [0; 1 ] и [а;Ъ], где а < Ъ.
12. Построить взаимно однозначное соответствие между точками отрезка [0;1] и интервала (0;1).
13. Построить взаимно однозначное отображение интервала (0;1) на прямую R.
Точка х0 множества G ^ R называется внутренней, если 3O(x0): O(x0) ^ G.
Множество, у которого все точки внутренние, называется открытым. Пустое множество, по определению, считается открытым.
Точка x0 e R называется предельной точкой множества G ^ R, если
VO(x0) 3xe G: x e O(x0), x ^ x0.
Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки (если, конечно, они есть). Пустое множество, по определению, считается замкнутым. Точка x0 e R называется граничной точкой множества G ^ R, если в любой
окрестности точки x0 имеются хотя бы по одной точке из G и R\G. Множество всех граничных точек множества G называется границей множества G и обозначается dG .
Множество, которое получается из множества G присоединением всех его предельных точек, называется замыканием множества G и обозначается G .
Точка x0 множества G ^ R называется изолированной, если у x0 есть окрестность, в которой нет других точек из G, кроме x0.
Доказать следующие утверждения.
14. Если множество G е R замкнуто и ограничено, то среди его элементов есть как наименьший, так и наибольший.
15. Если множество G е R открыто, то среди его элементов нет ни наименьшего, ни наибольшего.
16. Граница любого множества G е R является замкнутым множеством.
17. Для любого G е R G = G u dG .
18. Замыкание любого множества есть замкнутое множество.
19. Объединение любого семейства открытых множеств открыто.
20. Пересечение любого конечного числа открытых множеств открыто. Справедливо ли это утверждение для счетного семейства множеств?
21. Множество G е R открыто тогда и только тогда, когда множество R\G замкнуто.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 .. 10 >> Следующая