Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

Введение в анализ - Яковлев Г.П.

Яковлев Г.П. Введение в анализ — МФТИ, 2002. — 25 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedeniyevanalis2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 .. 10 >> Следующая

22. Для любых множеств A е R и B е R
R\(A uB) = (R\ A)n(R\B),
R\( A n B) = (R \ A) u (R \ B).
23. Объединение любого конечного числа замкнутых множеств замкнуто. Справедливо ли это утверждение для счетного семейства множеств?
24. Пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто.
25. Может ли множество G е R, все точки которого изолированные, иметь предельные точки?
26. Является ли замкнутым или открытым множество всех рациональных точек отрезка [0; 1]?
27. Привести пример множества G е R, которое одновременно и открытое, и замкнутое.
Как известно, для любого отрезка [а;Ъ] число b-а называется его длиной, ту же длину имеет и любой из промежутков [а;Ъ), (а;Ъ], (а;Ъ). Обобщением этого понятия на более широкий класс множеств G е R является мера множества, которую для G будем обозначать mG .
Любой конечный промежуток А = (a; Ъ] и любое множество S, являющееся объединением конечного числа попарно непересекающихся промежутков А1,..., АN такого вида, называются элементарными множествами. По определению положим
N
тА = Ъ - a, mS = ^ mA j .
j=1
Пустое множество тоже считается элементарным, причем т0 = 0.
Для любого ограниченного множества G е R рассмотрим числа
т = sup ms, т = inf mS ,
sеG S^G
где sup берется по всем элементарным множествам s е R, а inf - по всем элементарным множествам S з R .
Если mG = GG, то это число называется мерой Жордана множества G и обозначается mG, а множество G называется измеримым по Жордану.
Доказать следующие утверждения.
28. Определение меры элементарного множества S не зависит от разбиения S на промежутки вида (а;Ъ].
29. Если множества s и S элементарные, то множества s u S и s n S тоже элементарные и
m(s u S) + (s n S) = ms + mS.
Если, кроме того, s и S не пересекаются, то
m(s u S) = ms + mS.
30. Если множества s и S элементарные и s е S, то
ш(Я \ = ms - шЯ .
31. Для любого ограниченного множества О е Я
0 < шО < шО < +го.
32. Если А = [а; Ь], А* = (а; Ь), то
ш А = Ь - а, шА* = Ь - а.
33. Если множества 01 и 02 измеримы, то множества О1 и О2 и О1 п О2 тоже измеримы и
ш(О1 и О2) + ш(О1 п О2) = шО1 + шО2.
Если, кроме того, О1 и О2 не пересекаются, то
ш(О1 и О2) = шО1 + шО2.
34. Если множества g и О измеримы и g е О , то множество О^ тоже измеримо и
ш(О\§) = шО - mg.
35. Для того чтобы ограниченное множество О е Я было измеримо, необходимо и достаточно, чтобы его граница дО была измерима и шдО = 0 .
36. Множество всех рациональных точек отрезка [0;1] является неизмеримым по Жордану.
II
Функции одной переменной
§ 1.
Примеры числовых функций
Пусть заданы множество X е Я и некоторое правило Д которое каждому числу х е X ставит в соответствие некоторое число у = Дх). Тогда множество всевозможных пар (х Дх)), х е X, называется числовой функцией и обозначается либо просто Д либо Дх), либо у = Дх), х е X. Множество X называется областью определения функции Д и обозначается .О/, а множество всех у = Дх) называется множеством значений функции Д и обозначается ДУ).
Множество всех точек координатной плоскости с координатами (хДх)), х е X, называется графиком функции Д.
Числовую функцию Д, определенную на X, иногда называют отображением множества X в множество К или на множество Д(X). Тогда у = Дх) называется образом точки х, а х — прообразом точки у. Если М е Я , то множество всех у = Дх), когда х е М называется образом множества М при отображении Д и обозначается
ДМ).
Если задана функция у = Дх), х е X, то говорят, что переменная у является функцией независимой переменной х, и, чтобы не вводить других обозначений, иногда пишут у = у(х).
Числовую функцию часто задают просто формулой. Тогда под областью определения понимают так называемую естественную область определения, т.е. множество всех чисел, для которых заданная формула имеет смысл.
1. Найти области определения и множества значений следующих функций:
1) у = V х2 -1 ;
2) у = 3х2 -1 ;
3) У = V- (х -1)2 ;
4) У =-т==;
ух -1
5) у=ъА—;
V х -1 1
6) у =-
у]~ (х - 1)2
7) У = х -1, х е [—1;1];
8) У =|х -1|, х е (0;1) ;
9) у = х2, х е Я ;
х2
Ш) У = 1----2, х е Я.
1 + х 2
2. Пусть А и В произвольные множества из области определения функции / Доказать, что
/(А и В) = /(А) и /(В), / (А п В) с /(А) п /(В) .
Можно ли здесь знак включения заменить на знак равенства?
Функция / определенная на множестве X , называется монотонно возрастающей (убывающей) на X, если для любых х1 и х2 из X таких, что х1 < х2, выполняется неравенство /(х1) < /(х2) (соответственно /(х1) > /(х2)). Если же выполняются строгие неравенства, то функция / называется строго возрастающей (убывающей) на X .
Функция /, определенная на множестве X, называется ограниченной сверху (снизу) на X, если множество ./(X) ограничено сверху (снизу). Если же /(X) ограничено, то и / называется ограниченной на X.
3. Используя символы 3 и V, сформулировать определения того, что функция у = /х),
х е X, является ограниченной сверху, неограниченной сверху, ограниченной снизу, неограниченной снизу, ограниченной, неограниченной.
Доказать следующие утверждения.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 .. 10 >> Следующая