Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Таранина И.В. "Гражданский процесс в схемах " (Юриспруденция)

Смоленский М.Б. "Адвокатская деятельность и адвокатура российской федерации" (Юриспруденция)
Реклама

Введение в анализ - Яковлев Г.П.

Яковлев Г.П. Введение в анализ — МФТИ, 2002. — 25 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedeniyevanalis2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 >> Следующая

Уп xn е X , xn Ф x0 и xn = x0 ,
последовательность yn = fxn), п е N , сходится к с. В этом случае пишут lim f (x) = c,
x—x0
или " f (x) — c при x — x0."
Доказать следующие утверждения.
1. lim sin x = sin x0 yx0 е R .
x—x0 0 0
2. lim cosx = cosx0 yx0 е R .
x—x0 0 0
3. lim tgx=tgx0 для любого x0 из области определения тангенса.
x—x0
4. lim ctgx=ctgx0 для любого х0 из области определения котангенса.
x—x0
5. lim ft + 1Г = e.
x—+<*\ x J
6. Функция fx)=cosx не имеет предела при x — +ш .
x 2 - 4
7. Найти предел функции f (x) = — в точке x=2.
x - 2 x
Дадим второе определение предела функции в точке. (Оно называется
определением по Коши, а предыдущее определением по Гейне.)
Пусть с — число или бесконечно удаленная точка прямой R, а х0 — конечная или бесконечно удаленная предельная точка множества X ^ R .Точка с называется пределом функции fx), x е X, при x — x0, если
yO(c)3O(x0): yx е O(x0) n X f (x) е O(c), (1)
• • где O(x0) — проколотая окрестность точки x0, т.е. O(x0)\{x0} .
Доказывается, что определения предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны.
Доказать следующие утверждения.
8. lim cx = cx° yx0 е R .
x—x0 0
9. lim cx = +ш yc > 1.
x——+ш
10. lim cx = 0 yc > 1.
x——-ш
11. Условие (1) для x0 и с из R равносильно условию:
Ун> 0 3? > 0: yx е Os(x0) n Df f (x) е Os(c).
12 lim xa = 0 Va > 0 .
x—+0
13. lim xa =+w Va > 0.
x—+w
14. Пусть функция f определена на множестве А, и пусть x0 е R — предельная точка как для X n (— w; x0), так и для X n (x0 ;+w). Функция f имеет предел в точке X0 тогда и только тогда, когда у нее пределы в точке слева и справа существуют и равны.
§ 3.
Непрерывные функции
Точки любого множества X е R делятся на предельные и изолированные. Функция f (х), x е X, называется непрерывной в предельной точке x0 е X, если lim = f (x0) любой
0 x—x0 0
изолированной точке x0 е X функция_/, по определению, считается непрерывной.
Заметим, что если функция f определена, например, на отрезке [a;b] то можно говорить о непрерывности не только во внутренних точках отрезка, но и в его концевых точках.
Бели функция f непрерывна в точке x0 е Df, то Xo называется точкой
непрерывности функции f. В противном случае точка X0 называется точкой разрыва функции f
Доказать следующие утверждения.
1. Функция_/, определенная в некоторой окрестности точки X0, является непрерывной
в точке X0 тогда и только тогда, когда
VO(У0)3О(x0): f (O(x0)) С О(У0), (1)
где У0 = fx).
2. Условие (1) равносильно условию
Ws> 0 3?> 0: f (Os(x0)) С Os(y0).
3. Функция у = ха при любом a е R непрерывна в любой точке X0 > 0.
4. Если функция непрерывна в точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой
точки.
5. Функция Дирихле
Г1, если х рационально,
f (х) = i
{0, если х иррационально,
разрывна в каждой точке.
6. Если функцияfx) непрерывна на промежутке А, то функция f+(x) = max{fx);0} тоже
непрерывна на А.
7. Если функции f и g, определенные на интервале А, непрерывны в точке x0 е А, то
функции
М(х) = шах{/(х)^х)} и ш(х) = min{fx),g(x)} тоже непрерывны в точке x0.
8. Функция Римана
f(x) =
0, если х иррационально,
1/ q если х рационально и x = —,
q
где р/ц — несократимая дробь, является непрерывной в любой иррациональной точке и разрывна в любой рациональной точке.
9. Если функция у = /(х), х е Я, непрерывна на К, то функция у = |/(х)| тоже непрерывна
на К Справедливо ли обратное утверждение?
10. Если функция / определенная на промежутке А, непрерывна на А, то А А ) — тоже промежуток. Справедливо ли обратное утверждение?
11. Если функция / определенная на отрезке А, непрерывна на А, то АА) — тоже отрезок. Справедливо ли обратное утверждение?
12. Если функция у = /(х) определена и строго монотонна в некоторой окрестности точки х0, то обратная функция х = (р( у) непрерывна в точке у0 = /(х0).
13. Если функция / определена и монотонна на промежутке А и А А ) — промежуток, то А непрерывна на А.
14. Если функция / непрерывна на промежутке [а;+ю), и у нее существует конечный предел при х — +ю, то / ограничена на [а;+ю).
15. Если функция/непрерывна на интервале (а;Ь), то для любого с е Я множество всех х е (а;Ь) таких, что/(х)<с (/(х)>с), открыто.
16. Если функция / непрерывна на отрезке [а;Ь], то для любого с е Я множество всех х е [а;Ь] таких, что / (х) < с ( А (х) > с ), замкнуто.
17. Для того чтобы функция / определенная на К, была непрерывна на К, необходимо и достаточно, чтобы прообраз любого замкнутой) (открытого) множества был замкнутым (соответственно открытым) множеством.
18. Любое непрерывное отображение / отрезка А в себя имеет неподвижную точку, т.е. Зх е А: /(х) = х.
19. Если функция $х), х е Я, непрерывна на К и периодическая с периодом Т, то
Зк : У ^ х0 + Т^ = У (х0).
20. Если функция/(х), х е Я, удовлетворяет условию Липшица:
Зк: |/(х1)-/(х2)| < к\хх -х2\ Ух19х2 е Я,
где к < 1, то уравнение/(х) = х имеет, и притом единственное, решение.
21. Монотонная функция может иметь не более счетного числа точек разрыва.
22. Если непрерывная на отрезке А функция / обратима, то / монотонна на А.
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 >> Следующая