Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 165 166 167 168 169 170 < 171 > 172 173 174 175 176 177 .. 260 >> Следующая

Замечание. Предположим, что нужно решить систему линейных уравнений Ах —у, и пусть матрица А разложима. Если положить
- •* I;;i-
-V ' -V
то Ах = РАРтх — у или А (Ртх) = Рту. Введем новый вектор неизвестных Ртх — х = [zT : ?г]т и новый вектор правых частей РтУ = У = [и)т:<ат]т; здесь 2, ше'Сг; ?, we'Cn_r. Исходная система уравнений будет эквивалентна системе
т. е. системе
Bz -f- = w, DZ, = со.
Если сначала разрешить уравнение Dt, = to относительно ?, а затем подставить .? в первое уравнение и решить систему Bz — = w—относительно г, то тем самым исходная задача окажется разложенной ;на щве задачи меньшего порядка, которые
в принципе должны решаться проще. Именно это обстоятельство стоит за термином «разложимая».
6.2.22. Определение. Неразложимой называется матрица А е Мп, не являющаяся разложимой.
6.2.23. Теорема. Матрица А^Мп тогда и только тогда
неразложима, когда (/ -j-1 А |) >'0 или, что эквивалентно, когда
[' + М (Л)]"-1 > 0.
Доказательство. Мы будем доказывать в действительности, что для разложимости матрицы А необходимо и достаточно, чтобы (/ + ИI)"-1 имела хотя бы один нулевой элемент. Предположим вначале, что А разложима и для некоторой матрицы перестановки Р
л=4о дк=рл>г-
Здесь. В, С, 0, D — те же матрицы-блоки, что в определении
6.2.21. Заметим, что | А | = | РАРТ | = Р\ А \ Рт, так как единственным результатом действия Р будут перестановки строк
'v 2 '•*
и столбцов. Заметим еще, что каждая из матриц | А |, Ml, ... ..., | Л Г“! имеет такой же нулевой блок размера (п — г)Хг в левом нижнем углу, как и матрица А. Итак,
(/ +1А1)"-' = (/ + Р | А | Рт)п~' = (Р [/ +1А |] Рг)"-' =
= Р(1 + \А и"-1 = Р[/ + (д — 1)| Л | +
+( 2 )|^+-+(„_1>лг1]я’-;
и все слагаемые внутри квадратных скобок имеют один и тот же нулевой блок в левом нижнем углу. Поэтому матрица (/ + разложима, и среди ее элементов должны быть нулевые.
Обратно, предположим, что для некоторой пары индексов р, q, где p?=q, элемент матрицы (/ + |Л|)П-1 в позиции (р, q) равен нулю. Тогда, как мы знаем, в графе Г(Л) нет ориентированного пути из Рр в Рд. Определим множество узлов
Si == {Pt: Pt = Pq или в Г (А) имеется путь из Pt в Рд},
и пусть 52 — множество всех остальных узлов графа Г (Л). Заметим, что 51и52~{Л, •••> Рп) и Pq^S\?=(d, так что S2 Ф {рх.....рп}. Если бы существовал путь «з некоторого
узла Pt множества 52 в какой-то узел Р, множества S,, то (см. определение множества 5t) Я, и Pq были бы связаны путем, а тогда Pt должен был бы принадлежать Поэтому не может быть никаких путей, ведущих из узлов множества S2 в узлы множества Перенумеруем теперь узлы таким образом, чтобы было Si~{Plt Рг}, S2 = {Pr+ и •••» At)* Видим, что
Л = ?], 0
т. е. А разложима. Для случая [/ + М(А)]*~Х > 0 рассуждения проводятся таким же образом. ?
Подведем итоги.
6.2.24. Теорема. Для матрицы А е Мп следующие утвержде-ния эквивалентны:
(a) А неразложима',
(b) (/ + | Л 1)"-' > 0;
(c) [/ + М (Л)]"-1 > 0;
(d) граф Г (А) сильно связен и
(e) А обладает свойством SC.
6.2.25. Определение. Матрица А е Мп называется i. d. d.-мат-рицей *), если
(a) А неразложима;
(b) А — матрица с диагональным преобладанием, т. е. \ан\^
>/?^(Л), /= 1.......п\
(c) хотя бы для одного значения / справедливо строгое
неравенство \ait\> Ri (А).
Упражнение. Построить пример, показывающий, что матрица может быть неразложимой и с диагональным преобладанием, но не быть i. d. d.-матрицей.
На введенном нами языке нашу «более сильную теорему» 6.2.8 и ее следствие можно переформулировать таким образом.
6.2.26. Теорема. Пусть А е Мп — неразложимая матрица. Граничная точка X области Гершгорина G(A) может быть собственным значением матрицы А лишь в том случае, если каждая окружность Гершгорина проходит через Я.
*) В оригинале irreducibly diagonally dominant matrix. Нам не удалось найти удобочитаемый русский эквивалент этой конструкции. — Прим. перев.
6.2.27. Следствие (Таусски). Пусть А ¦— \ац\ е Мп есть i. d. d.-матрица. Тогда
(a) А обратима;
(b) если все ац > 0, то Re Xi > 0 для всех собственных значений Xi матрицы А;
(c) если А эрмитова (или, более общо, если А имеет только вещественные собственные значения) и все диагональные элементы ац строго положительны, то все собственные значения матрицы А строго положительны.
6.2.28. Следствие. Пусть матрица А^Мп неразложима, и пусть хотя бы для одного значения i
Д<=ЕК1<М1и,
т. е. не все строчные нормы равны максимальной. Тогда р(Л)< <IIЛЦ^. Более общо, если ри рп > О,
D = diag (pi, р2, ..., рп)
и Rl(D~1AD) <\\D~1AD\\00 хотя бы для одного значения i, то Р (Л) < П D-MDIU.
Доказательство. Всегда имеет место неравенство р(Л)^ -^ЦЛЦоо,* равенство достигается тогда и только тогда, когда |Я|=||Л||оо для некоторого собственного значения X матрицы Л. В последнем случае по теореме 6.2.26 каждая окружность Гершгорина должна проходить через X. Однако этому препятствует предположение <С IIЛ ||оо. Применяя то же рассуждение к мат* рице D~lAD, получим второе утверждение. ?
Предыдущая << 1 .. 165 166 167 168 169 170 < 171 > 172 173 174 175 176 177 .. 260 >> Следующая