Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 168 169 170 171 172 173 < 174 > 175 176 177 178 179 180 .. 260 >> Следующая

'Здесь мы положили Z = V*W. Из этого представления следует, Что
п
и ?||| > 2 (I л, р -Ц Я, F) — 2 max {Re tr {С/ЛС/*Л*): V унитарна}. (6.3.7)
Покажем, что если подставить в (6.3.7) точное значение максимума, то будет получена желаемая оценка (6.3.6). Для матрицы
U ~ [uif\е Мп легко проверить равенство
П
Re tr (UAU'А') = Zl«i/fRе (ЯД,).
i. /-1
Нам нужен максимум этого выражения, когда U пробегает компактное множество унитарных матриц порядка п. Если положить Cif = J UijJ2 и Cs=[ci/], то матрица СеМп будет неотрицательной и суммы ее элементов как по строкам, так и по столбцам будут точно равны 1 (поскольку UU* = U*U = /). Таким образом, всякой унитарной матрице U отвечает двоякостохастическая матрица С. Если изменить нашу экстремальную задачу, допуская все двоякостохастические матрицы, выигрыш будет в том, что экстремум вычисляется на выпуклом компактном множестве, структура которого известна. Максимум над этой большей областью может, разумеется, возрасти:
max {Retr (UAU*A*): U унитарна} =
Однако целевая функция у нас линейна, а множество выпуклое и компактное, поэтому максимум достигается в одной из крайних точек (см. приложение В; нужно учесть, что линейная функция выпукла). Согласно теореме Биркгофа 8.7.1, крайними точками множества двоякостохастических матриц являются матрицы перестановок. Следовательно, существует матрица перестановки Р е Мп, такая, что
= Re tr (РАРТА*).
Поскольку матрица перестановки унитарна, то верно также, что max (Re tr (UAU*A*): U унитарна} = Re tr (PAPTA*).
Если Pet — ea(i), i = 1, 2,, n, to
= max
max j 2 J uti PRe(X^): U унитарна}^
max] 2 CijRe&ikj): С двоякостохастическая
V i, /-I
n
n
Re tr (PAPA') = ? Re (W&).
Подставляя в (6.3.7), имеем
II ? Й > ? [ IW) Р +1 Р - 2 Re (WOl = i=1
п
= ElW)-*-<P- ? t=1
Теорема 6.3.5 указывает, что множество собственных значений нормальной матрицы обладает сильной глобальной устойчивостью; однако она не говорит о том, при каком упорядочении собственных значений неравенство, содержащееся в ней, будет выполнено. Разумеется, годится не всякое упорядочение; действительно, существует по меньшей мере одно такое, что знак неравенства (6.3.6) заменяется на противоположный (см. задачу 7 в конце данного параграфа). Но в важном частном случае эрмитовых матриц можно взять естественное упорядочение собственных значений.
6.3.8. Следствие. Пусть А, Е^Мп, причем А эрмитова, а А -\-Е — нормальная матрица. Пусть собственные значения матрицы А расположены по возрастанию: < Яг < ... < Я„, а
собственные значения матрицы А-\- Е упорядочены так, что
Re < Re Я2 < ... < Re Яп. Тогда
Доказательство. По теореме 6.3.5 существует некоторая перестановка а исходного порядка (по возрастанию вещественных частей) собственных значений матрицы А-\- Е, для которой
Г « 11/2
[Z\L(i)-h\2\ <11 Eh. (6.3.9)
, А. А
Если в списке Яо<i), Я0(Л) собственные значения по-преж-
нему упорядочены по возрастанию вещественных частей, то доказывать нечего. В противном случае в списке найдется пара соседних собственных значений, для которой этот порядок нарушен, т. е. для некоторого k, 1 < k < п,
А А
Re Я0 (*) > Re Яс (ft+i).
Так как, однако,
{ Яс(А) — Яй |2 + I Xa(k+1) — Я/е+1 Р = I Яа(й+1) — Я* Р -J-
4~ |Я0(й) — Я*+1р-{-2(Я* — Я/e+i)(ReЯ0(й+1) — Reft0(ft))
по предположению Яй — Яй+1^0, то
I ^0<*) — Я* Р + | Яа(А-И) — ^o(fe+l) — Я*P + J ka(к) — kk+1 Р.
А Л
Следовательно, собственные значения Я0(&) и %<j(k+\) можно переставить, не увеличивая сумму квадратов. Конечной последовательностью таких транспозиций список V(i), Я0(„) пре-
образуется в список Яь Я2, * •«» Ял, в котором вещественные части возрастают; для него имеет место указанная в формулировке оценка. ?
На практике это следствие чаще всего применяется в случае, когда обе матрицы А и A -f- Е эрмитовы или вещественные и симметричные.
Упражнение. Пусть А, В & Мп — эрмитовы матрицы и собственные значения обеих упорядочены по возрастанию или убыванию. Доказать неравенство
On \ 1/2
С {МЛ) - MS)Pj <У А-ви
Упражнение. Показать, что утверждение теоремы 6.3.5 может потерять силу, если одна из матриц А, В = А + Е не является нормальной. Указание. Рассмотреть матрицы /4*=[J°J, Z? = [“j “J] и показать, что при любом упорядочении собственных значений
Е 1я, {А) - (В)Р = 16.
Если А не диагонализуема, то не известно столь же простой оценки, как в теореме 6.3.2. Однако можно вывести явную формулу, показывающую, как меняются алгебраически простые собственные значения (т. е. собственные значения с алгебраической кратностью 1) при возмущении элементов матрицы. Прежде всего нам потребуется лемма о неортогональности левого и правого собственных векторов, отвечающих простому собственному значению.
Предыдущая << 1 .. 168 169 170 171 172 173 < 174 > 175 176 177 178 179 180 .. 260 >> Следующая