Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 170 171 172 173 174 175 < 176 > 177 178 179 180 181 182 .. 260 >> Следующая

Если положить е = 0, то у возмущенной матрицы А + Е при любом б ф 0 будет только один, с точностью до скалярного множителя, собственный вектор; сама же А имеет два линейно независимых собственных вектора.
Все полученные до сих пор оценки были априорными границами для возмущений в собственных значениях; они не используют вычисленные приближения к собственным значениям, собственным векторам или каким-то другим связанным с ними величинам. Предположим теперь, что тем или иным способом найдены «приближенный собственный вектор» %Ф 0 и «приближенное собственное значение» л-. Маловероятно, что вектор Ait будет в точности равен вектору Для оценки расстояния от Л до точного собственного значения в случае диагонализуемой матрицы А можно использовать вектор невязки г = А% — Я*.
Положим Л==5А5-1, и пусть Я не совпадает ни с одним собственным значением матрицы А. Тогда
г = АХ — Я Я = 5 (А — Я/) 5~ l&t так что St = 5 (А — Я/)-1 S~lr. Отсюда
UII = II5 (А - XI)-' S~lr I < 15 (А - Я/)-,5-11|||г||<
< II51| 15"111 (А - Я/)“111| г || = к (5) I (А - Я/)"111| г || =
= m(S)( min |Я/ — Я|)-11|г||.
1 <-J<n
Таким образом,
||*|| min |Яг-Я|<и(5)|И|.
Ясно, что это неравенство будет выполнена и в случае; когда Я = Я? для некоторого i. В проведенном рассуждении мы предполагали, что
(a) || • II — векторная норма на С";.
(b) матричная норма || 41 на Мп согласована
с векторной нормой || • |f; (6 3.13)
(c) ||?)||= max \dti\ для любой матрицы ,,
I <7
D = diag(dlt , ..dn).
Число обусловленности х(5)* порождается матричной нормой ||*||- Если А — нормальная матрица, то можно выбрать унитарною матрицу S., Если ваять, евклидову векторную, норму и спектральную матричную норму, то и(5)== 1.. Условие (с) эквивалентно требованию, чтобы матричная норма ||*|| была подчинена монотонной векторной норме (теорема: 5,6,37). Итак, все >*словия (6.3.13) будут удовлетворены, если векторная норма, IHI на С” монотонна, а матричная норма || • II на Мп подчинена, ей. Мы получили апостериорные оценки такого же внешнего вида, как в теореме- 6.3.2 и следствии 6.3.4.
6.3.14. Теорема. Пусть А е Мп — диагонализуемая матрица, А = SAS~l, А — diag(Xb ..., Яя). Пусть векторная норма ||-|| на С" и матричная норма || • || на Мп удовлетворяют условиям
(6-3J3). Пусть ieC" — заданный ненулевой вектор,,, Я — заданное комплексное число и г — А& — кх. Тогда найдется, собственное значение Я/ матрицы. А, для которого
= (6,3.15)
Если А — нормальная матрица, то для некоторого ее собственного значения fa
се-злв)
Этот последний результат нужно= сопоставить с аналогичной апостериорной границей для относительной ошибки приближенного решения системы линейных уравнений. Если матрица коэффициентов системы плохо обусловлена, то смысл: оценки (5.8.11) состоит в следующем: малая величина невязки не обязательно влечет за собой малую величину относительной ошибки приближения. В то же время для нормальной матрицы А (на практике А обычно бывает эрмитовой или вещественной симметричмой), неравенство (6.3.16) означает, что если невязка, соответствующая приближениям к собственному значению и собствен-
ному вектору, мала, то абсолютная погрешность приближенного собственного значения гарантированно будет малой; в оценке нет никакого числа обусловленности.
Этот приятный результат для собственных значений не сопровождается столь же приятным результатом для собственных векторов. Даже для вещественной симметричной матрицы малость невязки не гарантирует, что приближенный собственный вектор будет близок к точному. Рассмотрим, например, при е > 0 матрицу Л = [ * ^ J. Если взять А=1, ? = [1, 0]г, то невязка имеет вид г = [0, е]т. Собственными векторами матрицы Л для любого е >¦ 0 будут [1, 1]г и [1,—ljr. Вектор х не будет приблизительно параллелен ни одному из них, как бы мало ни было 8.
Упражнение. Показать, что собственные значения матрицы А в только что рассмотренном примере — это числа 1+е и 1 —е. Проверить для них оценку (6.3.16).
Задачи
1. Пусть А, ц—-собственные значения матрицы Л и Хф ц. Показать, что всякий левый собственный вектор матрицы Л, соответствующий ji, ортогонален всякому ее правому собственному вектору, соответствующему А.
2. Используя предыдущую задачу, дать другое доказательство леммы 6.3.10 для случая, когда все собственные значения матрицы Л различны.
3. Проверить утверждение, сделанное в конце первого абзаца данного параграфа1), рассматривая матрицы Ле = [®о]еЛ/2,
Л0 = [о q] и считая 8 малым положительным числом. Показать, что матрица Л€ диагонализуема при 8>0 и минимальное рас* стояние между собственными значениями матриц Л8 и Л0 равно
Ve. Представляя Ле в виде Л8 = Ло + Ё, показать, что при е -> 0 справедливы соотношения
I А •— А. I
Предыдущая << 1 .. 170 171 172 173 174 175 < 176 > 177 178 179 180 181 182 .. 260 >> Следующая