Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 185 186 187 188 189 190 < 191 > 192 193 194 195 196 197 .. 260 >> Следующая

— В*В является матрицей Грама системы столбцов матрицы В относительно евклидова скалярного произведения. ?
Задачи
1. Пусть А — эрмитова матрица. Показать, что матрица A2k положительно полуопределена для всех k = 1, 2, ..., а матрица еА положительно определена. См. упражнения, сопровождающие теорему 5.6.15.
2. Пусть матрица А положительно полуопределена, и пусть p(t)—произвольный многочлен, такой, что p(t)>0 для всех
0. Показать, что матрица р(А) положительно полуопределена. Указание. Каковы собственные значения матрицы р(Л)? Каким образом данный результат обобщает утверждение задачи 1? •
3. Используя теорему 7.2.5, показать, что матрица А = *= [ац] е Мп с элементами а/у = min{i, /} положительно определена. Указание. Вычислить detyl;, вычитая первую строку из всех остальных, а затем проделав то же самое со столбцами. Что можно сказать о матрице с элементами ац вз max{i, /'}?
4. Пусть матрицы А и В положительно определены. Показать, что их прямая сумма, т. е. матрица [ ^ ^], также положительно определена.
5. Привести пример вещественной квадратной (неэрмитовой) матрицы с положительными ведущими главными минорами, среди собственных значений которой есть имеющие отрицательную вещественную часть.
6. Восполнить пропущенные рассуждения в общем случае теоремы 7.2.5, т. е. доказать, что положительности любой последовательности из п вложенных главных миноров (необязательно ведущих; вложенность понимается как включение подматриц) достаточно для положительной определенности эрмитовой rt X n-матрицы Л.
7. Сформулировать необходимые и достаточные условия отрицательной (полу) определенности эрмитовой матрицы Л в терминах знаков ее миноров.
8. Существуют ли «квадратные корни» из положительно по-луопределенной матрицы Л, отличающиеся от Л1/2? Сколько их? Имеются ли корни k-й степени, отличающиеся от А1//г? Возможны ли неэрмитовы квадратные корни? Указание. Рассмот-
Г -1 1 "12
реть матрицу [ 0 , J .
9. Пусть матрица В е Мп положительно полуопределена и имеет ранг т. Показать, что существует т X я-матрица С ранга т, такая, что В == С*С. Отметить частный случай этого утверждения; положительно полуопределенная матрица ранга 1 всегда может быть представлена в виде лгл:*, где х — некоторый вектор из С".
10. Предположим, что матрица А е Мп положительно полуопределена и имеет ранг г < п. Показать, что у А найдется положительно определенная главная ' подматрица порядка г.
11. Пусть ЛеМ„ — эрмитова матрица. Показать, что А тогда и только тогда будет положительно определенной, когда deM>0 и положительно определена присоединенная матрица ad] А [см. (0.8.2)]. В общем случае det adj A =(det А)п~1; поэтому при четном п предположение относительно определителя не является необходимым. Если А положительно' полуопределена, рассмотреть матрицы Аъ = А-\-г1 и показать, что adj Л также положительно полуопределена. Будет ли справедливо обратное утверждение, если Л вырожденна? Указание. Рассмотреть матрицу Л = diag(0, —1, —1).
12. Пусть г — заданное число из интервала (0,1); рассмотрим вещественную симметричную тёплицеву матрицу Л = \ац\ е
еМ„ с элементами аг/ = гМ-Л. Доказать, что Л положительно определена, придерживаясь следующей схемы рассуждений:
(а) Если Ац — минор, дополнительный к элементу ац, то показать, что det Лц = 0 при |/ — /| ^ 2. Указание. Если i = 1, / > 2, то, как можно заметить, первый столбец минора Ац есть кратное второго столбца. (Ь) Пусть Dn === det Л. Показать, что Z>2 = = 1— г2 и Dn+i — Dn — r2Dn = (1 — г2) = (1 —- г2) "-1. Вос-
пользоваться при этом п. (а) и разложением определителя по первой строке, (с) Вывести положительную определенность матрицы Л из теоремы 7.2.5.
13. Показать, что матрица Л задачи 12 имеет вещественную симметричную трехдиагональную обратную матрицу; при этом в матрице (1 —г2)Л-1 диагональные элементы равны 1,1 +г2,
..., 1 + г2, 1, а каждый элемент наддиагонали и поддиагонали равен —г. Указание. Трехдиатональность матрицы Л-1 вывести из п. (а) задачи 12. Почему Л-1 должна быть симметрична? Элементы матрицы Л-1 вычислить, пользуясь соотношениями АА-1 = А-1 А = /.
14. Пусть <•, •> — заданное скалярное произведение на Ся,
<%z={ei, е„}—стандартный ортонормированный (по отно-
шению к обычному евклидову скалярному произведению) базис пространства С" и G е Мп — матрица Грама системы
относительно заданного скалярного произведения <¦, •>< Показать, что
(х, y)=*y*Gx (7.5 12)
для всех х, у е С". Вывести отсюда такое утверждение: функция <*,*>: С"ХСЛ->С тогда и только тогда йвляется скалярным произведением, когда для некоторой положительно определенной матрицы G выполняется (7.2.12).
15. Вспомним введенное в определении 5.4.12 понятие двойственной нормы. Пусть <•, •> — заданное скалярное произведение на Cn, a IMI—заданная норма на С". Эта норма необязательно порождена данным скалярным произведением. В таком случае определим норму, двойственную к || • || относительно скалярного произведения •), посредством формулы
Предыдущая << 1 .. 185 186 187 188 189 190 < 191 > 192 193 194 195 196 197 .. 260 >> Следующая