Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 186 187 188 189 190 191 < 192 > 193 194 195 196 197 198 .. 260 >> Следующая

||x||D = max|(*, у) \.
1И-1
Отметим, что для евклидова скалярного произведения <•, *> это обычная двойственная норма.. Позволяет ли это обобщение понятия двойственной нормы получить какие-либо векторные нормы, которые не были найдены ранее другими средствами? Указание. Пользуясь результатом задачи 14, представить (х, у} в виде <я, у} = y*Gx и показать, что
16. Пусть дана матрица ЛеМл. Доказать, что р(Л)< Г в том и только в том случае, если существует положительно определенная матрица В е М„, такая, что В — А*ВА положительно определена. Указание. Если В положительно определена, положим С — Б1/2. Если матрица
В- А'ВА = С'С-{СА)'{СА)
положительно определена, то для любого ненулевого вектора х^Сп
х* [С*С — (СА)* (СЛ)] л: > О,
или |{ Слг(12 Z> IIСГЛ>с||2- Полагая у*=Сх, показать, что \\у\\2
каков бы ни был ненулевой вектор у е С"; отсюда вывести, что ИСЛС-МЬ < 1. Тем самым р(Л)= р(СЛС-1) ^ <||СЛС-,||2< 1. Обратно, если р(Л)< 1, то существует невырожденная матрица СеМЯ| такая, что ||СЛС~1||2<С 1 (см. § 5.6,
задача 25). Поэтому проведенное рассуждение можно обратить, полагая В = С*С.
17. Пусть матрицы А, В^Мп положительно полуопределены и хотя бы одна из них невырожденна. Показать, что \\А — й^||Л2— ^2||2/[Яш1п(Л)+Ятт(В)]. Указание. Положим Е = = А — В, и пусть jteC" — нормированный собственный вектор матрицы Е, т. е. Ех='кх, причем |Я| = р(?) =||?,||2. Тогда А2 — В2 = АЕ + ЕА — Е2 и ||Л2 — ?2||2 ^\х*(АЕ + ЕА — Е2)х\ = = | Я, | (х*Ах -J- Х*ВХ) ^ | Я| (Ягп1п(Л ) -J- Xmln {В) ) .
18. Пусть матрицы А,В^Мп положительно полуопределены, причем Л положительно определена. С помощью результата задачи 17 доказать, что
|| Л1'2 - В1'21, < || Л ~1/2IL || Л - В Ik. (7.2.13)
Объяснить, почему из этого неравенства следует, что функция f: С->-С1/2, определенная на множестве положительно полуоп-ределенных матриц из Мп, непрерывна на внутренности этого множества, т. е. на открытом множестве положительно определенных матриц. Выписать и дать прямое доказательство неравенства-Для обычной скалярной функции f: t-^л/Т (0
< оо), которое получается из (7.2.13) при п — 1.
7.3. Полярная форма и сингулярное разложение
Теперь мы введем два важных и связанных между собой разложения комплексных (необязательно квадратных) матриц, существенно опирающиеся на понятие положительной определенности.
7.3.1. Лемма. Пусть ЛбМп,Л| причем пг^п и rank Л =
= k ^ га. Существуют унитарная матрица X е= Мт, диагональная матрица А е Мт с неотрицательными диагональными эле-ментами > Я2 ^ ... ^ lk > A*+i = ... = U = 0 й матрица
Y е Мпг> п с ортонормированными строками, такие, что А = ХА Y<
Матрица А всегда определена однозначно, и {м, ..., суть собственные значения матрицы АА*. Столбцы матрицы X являются собственными векторами матрицы АА*. Если все собственные значения последней матрицы различны, то матрица X определена с точностью до правого диагонального сомножителя D~d iag(e?0‘, ..., et6n), где все б, е R; другими словами, если А = XxAY\ — X2AY2, то X2 = XiD. При фиксированной матрице X матрица Y однозначно определена, если гапкЛ=зга. Если А — вещественная матрица, то X и Y могут быть выбраны вещественными. , .
Доказательство. Пусть А = XAY — разложение описанного типа. Тогда А А* = XAYY'AX* — XAIAX* — ХА2Х*, т. е. произведена унитарная диагонализация эрмитовой матрицы А А*. Пусть Х = [я, х2 ... хт] и А2 = diag (я?, ..Я2г); тогда AA*Xj = = Я/Х/, j~ 1, 2, m, причем векторы {х/} составляют орто-нормированную систему. Поскольку диагональные элементы матрицы А должны быть неотрицательными и упорядоченными по невозрастанию, то А однозначно определяется матрицей АА*. Если все числа {я^} различны, то нормированные собственные векторы матрицы АА* определены каждый с точностью до комплексного скалярного множителя с модулем 1. Поэтому если и Х2— унитарные матрицы, столбцами которых служат собственные векторы матрицы АА*, то должно быть Х2—Х\D, где D — diag(di, - dm) и \di\~ 1, i= 1, ..., т.
Собственные векторы матрицы АА*, отвечающие кратному собственному значению, определены неоднозначно. Однако если они выбраны и ортонормированы и тем самым зафиксирована унитарная матрица X, то матрица У = А~ХХ*А определяется единственным образом в случае невырожденной матрицы А, что имеет место при & = rank А = т. Легко проверить, что УУ* — = A~lX* (АА*Х)А-1 = А-1Х*ХА2А~1 = A~1A2A~1 = /, т. е. эта матрица Y имеет ортонормированные строки.
Остается рассмотреть только случай rank А — k С т. Когда все Яi были ненулевыми, мы определяли Y формулой У = ~ А~1Х*А = А_1(Л*^)*. Поэтому и теперь в качестве j-й строки
матрицы У возьмем вектор-строку у), ?//==* Я/*1 (А*х/), /=1, ... ..k. Тогда
1аГ‘ (Л'х,)}' [я*' (ЛЧ)] = x,AA'xkl(XM =
= Kik2kxkj «=» xtxkXJXr
Это скалярное произведение равно 0 при / Ф k и 1 при j = k в силу ортонормированности векторов {*/}. Векторы [уи ..., yk} образуют ортонормированную систему в пространстве С", и так как п ^ т ;> k, то найдутся т — k дополнительных (конечно, неоднозначно определяемых) векторов уш, ..., ут, таких, что матрица Y* = [у\у2 ... УкУи+\ ... ут] е Мп, т имеет га ортонор-мированных столбцов.
Предыдущая << 1 .. 186 187 188 189 190 191 < 192 > 193 194 195 196 197 198 .. 260 >> Следующая