Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 187 188 189 190 191 192 < 193 > 194 195 196 197 198 199 .. 260 >> Следующая

Заметим теперь, что Х*А = ЛУ. Действительно, первые k строк в обеих матрицах равны согласно определению векторов у,-. Остальные т — k строк в правой матрице нулевые, потому что соответствующие диагональные элементы в Л равны 0. В левой матрице те же строки нулевые, поскольку из AA*Xj = 0 следует, что {х)АА*х}^=[А*х^ Л*х/)==0, т. е. Л*ху = 0.
1 Наконец, при вещественной матрице А матрица АА* вещественна и имеет вещественные собственные значения. Следовательно, собственные векторы, образующие матрицу X, могут быть взяты вещественными. Первые k строк матрицы У, определяемые матрицей X, вещественны по построению, и добавляемые т — k ортонормированных векторов также можно выбрать вещественными. Таким образом, в случае вещественной матрицы А все сомножители разложения можно считать вещественными. и
Всякое ненулевое комплексное число г имеет единственное «полярное представление» г = рщ где р — положительное число, а и — комплексное число с модулем 1. В самом деле, /? = в=* | z |, и = p~lz «*= г/1 z j, если гфЬ. Вели г = 0, то z все же может быть записано в полярной форме с р ==0, но и теперь определено неоднозначно; оно мoжet быть произвольным комплекс* ным числом с модулем 1.
Как обобщить эти факты на комплексные матрицы из Мп? Один из возможных ответов такой: матрицу А е Мп можно представить в виде A =*PU, где Р — положительно (полу) определенная, a U — унитарная матрицы. Более того, разложение этого вида можно обобщить на случай неквадратной матрицы Л.
7.3.2. Теорема. Пусть А е Мт, п, причем т^п. Тогда А представима в виде
A*=PU,
еде матрица положительно полуопределена, rankP =
*= rank Л и матрица U & Мт, п имеет ортонормированные строки (г. е. UU* = I). Матрица Р всегда определена однозначно, а именно, Р = (АА*)1/2. Матрица V определена однозначно, если rank Л = т. Для вещественной ма,трицы А и Р, и U можно выбрать вещественными.
Доказательство. Используя лемму 7.3.1, запишем Л в виде А = ХАУ = ХАХ*ХУ и положим Р=*ХАХ*, U = XY. Тогда Р положительно полуопределена и UU* = XYY*X* = XIX* = *= XX* — I, так что V имеет ортонормированные строки. Из леммы 7.3.1 следует, что матрица Р равна (ЛЛ*)1/2, но и в общем случае, если Л = PU, то АА* = PUU Р = Р2, и Р всегда должна быть (единственным) положительно полуопределенным квадратным корнем из АА*. Если rank Л=т, то Р невырожденна, и матрица I) =Р-1Л определена однозначно. Однако, как мы видели в лемме 7.3.1, при rank Л <С m строки матрицы У, соответствующие нулевым собственным значениям матрицы Р, допускают неединственный выбор; поэтому и U = XY в этом случае определена неоднозначно. ?
Из доказанного немедленно вытекает важный результат для квадратных матриц.
7.3.3. Следствие. Матрица А е Мп может быть представлена в виде
A = PU,
где Р — положительно полуопределенная, a U — унитарная матрицы. Матрица Р всегда определена однозначно, а именно, Р ==» = (АА*)!/2. Если А невырожденна, то U определена однозначно формулой UzsP-lA. Для вещественной матрицы А и Р, и Й можно выбрать вещественными.
Упражнение. Проверить, что доказательство теоремы 7.3.2 можно построить, опираясь на идею предельного перехода, следующим образом. Если А невырожденна, то положить Р га; = (АА*) х<2, затем U = Р~1А и убедиться,, что UU* = I. Таким образом, в этом случае Р и U определены однозначно. Если А вырожденна, рассмотреть последовательность матриц Ав s=s A -fV + е/, е >¦ О, и сформировать разложения Ае — Рвиг с одно-, значно определенными сомножителями. Используя принцип выбора 2.1.8, найти бесконечно малую последовательность {е*-}, такую, что последовательность {Utk} при k -+¦ оо поэлементно
сходится к унитарной матрице U. Поскольку Ре — Аг ?/* , то
k k k
одновременно Рг -> Р, причем А == PU. Заметим, что хотя это
доказательство теоремы 7.3.2 короче первоначального, оно не дает в случае вырожденной матрицы А конструктивной процедуры получения множителей Р и U.
Разложение из теоремы 7.3.2 называют полярной формой или полярным разложением матрицы А. Отметим, что для матрицы полного ранга оба сомножителя определяются единственным образом.
Упражнение. Показать, что матрицу ЛеМт)П) где т ^п, можно представить в виде
A = WQ,
где матрица W е Мт> п имеет ортонормированные столбцы (т. е, W*W = /), а матрица Q е Мп положительно полуопределена. Указание. Разложить А* в соответствии с теоремой 7.3.2.
Упражнение. Пусть х^.Сп-—заданный ненулевой вектор; положим А S3 х е= Мп, ь Показать, что полярное разложение Такой матрицы А имеет видА = х —\\х\\2и, где и 5= х/\\х\\2. Таким образом, полярное разложение можно трактовать как рас*
пространение на матрицы разложения указанного типа для ненулевых векторов.
Упражнение. Показать, что квадратную матрицу А можно представить двумя разложениями: А = PU, где Р = (ЛЛ*)1/2, и A==WQ, где Q=(A*A)l/2. Их называют иногда «левым» и «правым» полярными разложениями матрицы Л. Показать, что выбираемые единственным образом положительно полуопреде-ленные матрицы Р и Q равны тогда и только тогда, когда Л — нормальная матрица. Оказывается, что для невырожденной матрицы Л однозначно определяемые унитарные матрицы U и W равны всегда (см. упражнение, предшествующее теореме 7.3.6).
Предыдущая << 1 .. 187 188 189 190 191 192 < 193 > 194 195 196 197 198 199 .. 260 >> Следующая