Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 193 194 195 196 197 198 < 199 > 200 201 202 203 204 205 .. 260 >> Следующая

быть неверно в отношении сингулярных чисел этих последних матриц. Проверить это на примере, рассматривая матрицы Л = [0 J], В = j]. Показать, однако, что сингулярные числа
у матриц АВ и В*А* всегда одни и те же.
20. Пусть X есть п-мерный случайный вектор, компоненты которого имеют нулевые математические ожидания и конечные дисперсии. Положим % Со\(Х) = Е(ХХ*) [см. (4.5.3*)]; матрицу 2 считаем невырожденной, полагаем Р=21/2, и пусть А, В — заданные матрицы из Мп. Случайные векторы АХ и ВХ имеют одно и то же математическое ожидание (нулевой вектор); однако нет оснований думать, что совпадают и соответствующие ковариационные матрицы. Показать, что для равенства Соу(ЛХ) — Cov(BX) необходимо и достаточно, чтобы A = B(PUP_1), где U е М„— некоторая унитарная матрица. Указание. Если Л2Л* = Б2?*, то (АР) (АР) * — (.ВР) {ВР) *. Пусть ВР — RW— полярное разложение матрицы ВР с унитарной матрицей W\ показать, что полярное разложение матрицы АР имеет вид АР = RV, где 1/еМ„ — некоторая унитарная матрица. Что можно сказать об R? Из доказанного вывести, что Л = B(PW*VP~l) = В (PUP-1) .Ъ какой степени определена матрица U? Что происходит, если 2 = /? А если В — /?
21. Рассмотреть матрицу ЛЕеМл следующего вида:
0 1
А
о
• 9
* •
• • •
о . 1
8 0 ... 0
е > 0.
Показать, что характеристическим многочленом этой матрицы будет многочлен tn — 8. (Указание. Вычислить det(tJ — Ле) разложением по первому столбцу.) Показать, что собственными
значениями матрицы Ле являются все п значений Vе. Показать, что сингулярные числа матрицы Ле равны 1 (с кратностью п— 1) и е. Пусть теперь п — 10, е = Ю-10. Мы видим, что возмущение Л о —Л е приводит к возмущениям собственных значений, по абсолютной величине равным 0.1, в то время как сингулярное число1) изменилось всего лишь на 10-10. Чему равно спектральное число обусловленности матрицы Ле? Этот пример подтверждает высказывание, сопровождающее теорему 7.3.7: всякая матрица хорошо обусловлена относительно задачи определения сингулярных чисел, хотя при этом может быть плохо обусловлена в отношении вычисления собственных значений*
’) Наименьшее, Сингулярные числа, равные 1, не меняются, — Прим. перев.
22. Пусть А = [ац]—заданная матрица из Мп. Показать, что если у А имеется «малая строка» или «малый столбец», то у нее должно быть и «малое» сингулярное число. Более точно,
пусть А = [гхг2 ... гп]т, г,еС", г\ есть t-я строка матрицы А. Расположим евклидовы длины строк {lln||2: 1=1* ..., п} по возрастанию; упорядоченные значения обозначим через Ri ^ ^2 ^ ^ Rn- Показать, что
и что справедливы аналогичные верхние оценки через нормы столбцов. Надо помнить при этом, что сингулярные числа упорядочены: сп ^ ^ ... ^ оь Указание. Квадраты сингу-
лярных чисел суть собственные значения эрмитовой матрицы АА*. Чему равны диагональные элементы матрицы АА*? Использовать соотношения мажоризации и теорему 4.3.26. Чтобы получить неравенства для столбцовых норм, рассмотреть матрицу А*А. Сравнить с задачей 19 из § 4.3.
23. Имеется естественный аналог сингулярного разложения, в котором унитарные сомножители заменяются комплексными ортогональными. Однако в отличие от сингулярного такое разложение можно построить не всегда; вспомним (задача 7 из § 2.3), что и ортогональный аналог унитарной триангуляризации Шура не всегда осуществим. Предположим, что матрица А е Мт, „ может быть представлена в виде А = PAQT, где 'PeMm, Q е Мп — комплексные ортогональные матрицы, а А= [1//]еМт, „ «диагональна» в том смысле, что Кц = 0 при i?=j. Показать, что матрица ААт^Мт диагонализуема и rank Л =гапкЛЛг. В то же время эти два условия достаточны для существования указанного разложения А = PAQT. Что можно сказать о случае, когда А вещественна? Привести пример матрицы А е М2, которую нельзя представить в виде А — = PAQT с комплексными ортогональными матрицами P,Q^M2 и диагональной матрицей А е М2.
24. Объяснить, почему сингулярное разложение можно рассматривать как обобщение спектральной теоремы для нормальных матриц.
25. Теорема 2.5.5 об одновременной унитарной диагонализа-ции семейства нормальных матриц имеет аналог, относящийся к сингулярным разложениям. Пусть ?Г = {Аг. предположим, что существуют унитарные матрицы V е Мт и W ^ Мп, такие, что каждая матрица V*AiW «диагональна» в смысле задачи 23, т. е. элемент (i, j) равен 0, если i ф /. Показать, что (а) каждая матрица А*.А, е Мп нормальна и семей-
ft
k
<?/& k = \ . 2 i-1
, tn| ft,
ство ^ = {А^: /, |g^}c Мт коммутативно; (Ь) Л,Л^ЛЛ ==> *= Л^Л'Л, для всех i, j, k^Sf. Каждое из этих необходимых условий в то же время достаточно для того, чтобы семейство ^ допускало одновременное сингулярное разложение.
26. Отыскание одновременного сингулярного разложения для двух заданных матриц Л, В^Мт>п представляет собой интересный частный случай предыдущей задачи. Показать, что для существования унитарных матриц V е Мт, W е Мп, таких, что А = VZW*, В — VAW* и матрицы S, Ае Мт, п «диагональны», необходимо и достаточно, чтобы оба произведения Л В* и В*А были нормальными матрицами. Указание. В части достаточности показать, что рассмотрение общего случая можно свести к ситуации, когда Л = Е— неотрицательная и «диагональная» матрица. Группируя1) равные диагональные элементы матрицы
Предыдущая << 1 .. 193 194 195 196 197 198 < 199 > 200 201 202 203 204 205 .. 260 >> Следующая