Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 194 195 196 197 198 199 < 200 > 201 202 203 204 205 206 .. 260 >> Следующая

2, показать, что из нормальности произведений 2В* и В*Е вытекает, что В — блочно-диагональная матрица, все диагональные блоки которой (за возможным исключением одного блока, если Л вырожденна) нормальные. Чтобы получить нужное утверждение, применить к каждому блоку спектральную теорему для нормальных матриц либо сингулярное разложение.
27. Предположим, что желательно иметь унитарные матрицы
V е Мт и W е М„, такие, что каждую матрицу семейства
— {A,-: i е 3f}aMm> „ можно представить в виде At = V'Li'W* с «диагональной» матрицей 2*. Показать, что для этого необходимо, но (если в семействе три или более матриц) не достаточно, чтобы матрицы АСА^ е Мт и А*А} е Мп были нормальными при любых г, / е 3. Указание. Рассмотреть семейство
'-«in- пи- иш-
Объяснить, какая именно часть рассуждения для двух матриц не срабатывает в случае, когда матриц больше двух.
Дополнительная литература и комментарии
Сингулярное разложение вещественных квадратных матриц было введено и обосновано Сильвестром в 1889 г. Первое доказательство возможности сингулярного разложения в случае произвольных комплексных m X «-матриц было дано, по-видимому, в работе: Eckart С., Young G. A Principal Axis Transformation for Non-Hermitian Matrices. — Bull. Amer. Math. Soc., 1939, v. 45, p. 118—121. В этой же статье доказано, что, для того
*) То есть помещая их в последовательные диагональные позиции.—^ Прим. перев.
чтобы две матрицы Л, Ве Мт, п допускали одновременное сингулярное разложение, в котором «диагональные»сомножители вещественны, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы АВ* и В*А были эрмитовыми. Обзор результатов об одновременном сингулярном разложении для семейств матриц, а также дополнительную литературу по этому вопросу можно найти в статье: Gibson Р. М. Simultaneous Diagonalization of Rectangular Complex Matrices. — Linear Algebra Appl., 1974, v. 9, p. 45—53.
7.4. Примеры и приложения сингулярного разложения
Полярная форма и сингулярное разложение имеют многочисленные приложения. Некоторые из них указаны в задачах; еще несколько обсуждается в следующих примерах.
7.4.1. Пример. Пусть дана обратимая матрица Тогда
все достаточно близкие (в смысле произвольной нормы) к А матрицы также обратимы. В некоторых задачах статистического моделирования требуется найти «ближайшую к Л (в смысле наименьших квадратов) вырожденную матрицу». Другими словами, мы хотим найти матрицу В, такую, что Л -j- В вырожденка и при этом величина ||В||^ имеет наименьшее возможное значение.
Фиксируем некоторую матричную норму ||-||. Предположим, что матрица Л + В вырожденна, и запишем ее в виде Л + В =
— Л (/ + А~1В). Если бы было ||Л_1Б|| < 1,то матрица 1-\-А~1В, а значит, и А-\-В, была обратима согласно следствию 5.6.16. Итак, 1 <||Л-1Б|[^;||Л-,||||.6|1, т. е. если Л обратима, а Л-fB вырожденна, то должно быть ||?|| ^ 1 /ЦЛ—11|. Возьмем в качестве нормы ||-|| спектральную норму, и пусть A — V2W* — сингулярное разложение матрицы Л. Тогда ЦЛ-1^ =||VIU =
— IIS-1||2 = 1/Оп, где On — наименьшее сингулярное число матрицы Л. Следовательно, всякая матрица В, для которой матрица Л + В вырожденна, должна удовлетворять неравенству 1|?||2 ^ оп(Л). Но если взять В= VEWгде Е н= diag(0,0, ...
0, — а„), то \\В\\2 =[|?\\2 = оп =||?||? =1|?|Ы, и матрица A -j- В вырожденна (причем имеет ранг п— 1).
Более общо, если мы хотим найти для заданной матрицы Л, вырожденной или невырожденной, «ближайшую в смысле евклидовой нормы матрицу ранга k», то можем взять матрицу А В, где, как и прежде, B = VEW*, но ? = diag(0, ..., 0,—ok+1, ...
—On) • Доказательство этого утверждения предлагается провести в задаче 1 в конце данного параграфа, а его обобщение на произвольную унитарно инвариантную норму обсуждается в примере 7.4.52.
Специального упоминания заслуживает случай k = \, часто встречающийся в приложениях. Наилучшее среднеквадратичное приближение заданной матрицы А — V2>W* е Мп матрицей ХеМп ранга 1 имеет вид X = А + В = -f- Е) W* —
= V diag(oi, 0, ..., 0) W* = Oivw*. Здесь <Т| — наибольшее сингулярное число матрицы A, v и w — первые столбцы в унитарных матрицах V и W сингулярного разложения. Говоря о векторах v и w, полезно иметь в виду, что они являются нормированными решениями пары эрмитовых спектральных задач
, AA*v = ofv, A*Aw — o\w,
в которых о2{ — наибольшее собственное значение положительно полуопределенной матрицы А*А (и матрицы АА*). Разумеется, это замечание не определяет v и w однозначно; одна из трудностей состоит в том, что собственные подпространства, отвечаю-щиер o2j, не обязаны быть одномерными. Однако если aj — простое собственное значение матрицы А*А (а следовательно, и матрицы АА*), то собственные векторы v и w определены с точностью до скалярного множителя с модулем 1; поэтому они1) лишь множителями отличаются от первых столбцов унитарных матриц V и W в сингулярном разложении А = VIW*. В этом случае при фиксированном выборе нормированных собственных векторов v и w наилучшее одноранговое приближение к матрице А должно иметь вид eiQoivw*, где 0 — некоторое вещественное число. Скалярный множитель ет нужно выбрать так, чтобы минимизировать величину || А — etQaxvw* [|| = || А ||^ —
Предыдущая << 1 .. 194 195 196 197 198 199 < 200 > 201 202 203 204 205 206 .. 260 >> Следующая