Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 195 196 197 198 199 200 < 201 > 202 203 204 205 206 207 .. 260 >> Следующая

— 2ajRe + сг^ || и || до ||2, что эквивалентно максиг
мизации функции , Re [tr е-‘еЛ (одо*) *] = Re [e~iev*Aw]. Но Aw =* = VIW*w = ei({>Giv для некоторого <peR (см. задачу 5 из § 7.3); следовательно, |и*Лш| = о\ > 0. Итак, оптимальный скалярный множитель равен е® — v*Aw/\v*Aw\— v*Aw/ou а наилучшим одноранговым приближением к Л будет матрица
eiQ0\VW* = {v*Aw) vw*.
Все это показывает, что если старшее собственное значение матрицы А*А простое, то наилучшее среднеквадратичное приближение к Л ранга 1 может быть без дополнительных усилий построено по решениям двух эрмитовых спектральных задач, Условие простоты старшего собственного значения матрицы А*А выполнено, например, для неотрицательной матрицы Л@I
*) То есть взятые произвольным образом нормированные собственные векторы матриц АА* и А*А, отвечающие собственному значению — Прим, перев. . -
eM„(R), такой, что ААТ положительна или, более общо, неразложима (см. задачу 17 из § 8.4).
7.4.2. Пример. В теореме 5.7.17 было доказано такое утверждение: для того чтобы векторная норма G(*) на М„ удовлетворяла условию
G(Al)0(A2) ... G(Ak)>p(Al ... Ak)
для любых Аи А2, ..., Ак^Мп и всех k = \, 2, . необходимо и достаточно, чтобы для нее существовала согласованная векторная норма на Сп. Критическое место в этом доказательстве следующее: из указанного неравенства для нормы G(*) и спектрального радиуса вытекает существование положительной константы с, такой, что G(A\)u(A2) ... G(Ak)^ с\\А\А2 ... ... Ak\\2, Чтобы обосновать это утверждение, требуется сингулярное разложение произведения А\А2 Ak. Детали можно найти в лемме 5.7.16.
7.4.3. Пример. Предположим, что нужно решить систему ли-
нейных уравнений Ах — Ь, где А е Мт, « и b е Ст заданы и А имеет ранг k. Пусть А =*= V'ZW*— сингулярное разложение матрицы А. Тогда V2W*x = 6, или ... — i,
2 (W'x) = V'b. (7.4.4)
Если га >¦ k, то последние m — k строк матрицы 2 нулевые, Поэтому для существования решения необходимо (и достаточно) , чтобы последние га — k компонент вектора V*b равнялись нулю. Итак, при га > k система Ах — b разрешима в том и только в том случае, если вектор b ортогонален последним га — k левым сингулярным векторам матрицых/4. Пусть b удовлетворяет ЭТОМу УСЛОВИЮ СОВМесТНОСТИ, И пуСТЬ У = [1>1 ... vm]t ДО7 = [ziyi *.. wn]. Тогда из (7.4.4) следует, что
Г b'v, b*v. 1*
¦ ......st' 0...........T
¦Таким образом, вектор
к *и
ylit
L-j а.
*«=1 1
wt (7.4.5)
есть решение данной системы. Поскольку Awj — V(2 W*Wj) = 0 для всех / !> k, то любая линейная комбинация последних п — k [(если п > k) правых сингулярных векторов матрицы А принадлежит ядру этой матрицы, а потому вектор
k *, п
v,b
•t“Z‘Sr!4’'+ Z c‘wt . 1 i~k+1
будет решением системы Ах — b при любых ск+ъ •••» слеС; разумеется, при n — k эта последняя сумма отсутствует. Поскольку векторы {ау,} ортонормированы, решение с минимальной евклидовой длиной получается, когда все с,- равны 0. Отметим, что последние т — k левых сингулярных векторов матрицы А образуют базис ядра матрицы АА*, совпадающего с ядром матрицы А*. Поэтому требование, чтобы вектор b был ортогонален к последним т — k левым сингулярным векторам матрицы А, равносильно тому, чтобы потребовать ортогональности b к любому решению системы А*х = 0.
Упражнение. Если не все из последних т — k компонент вектора V*b равны нулю, то система Ах = Ь несовместна, и решений нет вообще. Однако для ряда целей .можно удовлетвориться нормальным псевдорешением, т. е. вектором х е С", минимизирующим \\Ах — b||2 и при этом имеющим наименьшую возможную евклидову длину. Показать, что формула (7.4.5) дает нормальное псевдорешение.
7.4.6. Пример. Пусть А^М;г — заданная матрица. Каково будет наилучшее среднеквадратичное приближение к А среди матриц, отличающихся от унитарных разве лишь скалярными множителями? Вспомним, что /г-норма на М„ порождается скалярным произведением [A,B] = ivAB* и что для унитарной матрицы U
\\и\\Ъ=--[и, U] == trUU* = tr/ = п.
Если сеСи U е М„ — унитарная матрица, то
^A~cUfE = \A-cU, A-cU] = \\A\\%-2Re{c[A, U]} + n\cf.
Минимум этого выражения1) достигается для c — [A,U]/n и, следовательно,
11-4 - cVfE > || АII - ± | [Л, V] IV
Если положить
и (Л) нз щах | [Л, U] |, (7.4.7)
и^мп
унитарна
гго получим величину, аналогичную численному радиусу г (А) , только максимум скалярного произведения в последнем случае брался не по унитарным матрицам, а по всем эрмитовым матрицам ранга 1, имеющим единичную евклидову норму. Однако
Предыдущая << 1 .. 195 196 197 198 199 200 < 201 > 202 203 204 205 206 207 .. 260 >> Следующая