Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 196 197 198 199 200 201 < 202 > 203 204 205 206 207 208 .. 260 >> Следующая

*) При фиксированной матрица U. — Прим. перев.
в отличие от численного радиуса функция и {А) является матричной нормой на Мп (см. задачу 5 и пример 7.4.54).
Легко определить значение и (А), а также экстремальную
унитарную матрицу. Пусть А — VZW* — сингулярное разложение матрицы А. Тогда
и{А)= шах | [A, U] \— шах | [УШ\ U] |
U унитарна U унитарна
= шах |1гУ2\Г?/*| = шах J trS (W'U'V) |
U унитарна U унитарна
п
= max [trSt/|= max ? otuti
U унитарна ^~[иц]
унитарна п «
< max ? ot ( иИ К Yj Of U~[utj\ i-1 1-1
уинтарна
Если A — PU — полярная форма матрицы А, то
П
[A, f/] = trPt/t/* = trP=
i=l
Таким образом, полученная нами верхняя оценка для й(А) достижима и и(А)= 0\(А)-\- ... -\-оп(А), а наилучшее среднеквадратичное приближение матрицы А кратным унитарной матрицы дается формулой
“ (°i + • • • +
Здесь U — унитарная матрица из полярной формы А = PU матрицы A, a cTj, ..., On — сингулярные числа матрицы А. Если известно сингулярное разложение А = V'ZW*, то U — VW*. Ошибка приближения равна
И-^тЧ[=»лИ-т1[л.
j=i 4=1 '
и обращается в нуль только тогда, когда неравенство Коши—» Шварца
на самом деле является равенством. Итак, матрица А может быть идеально аппроксимирована кратным унитарной матрицы
лишь в том случае, если все ее сингулярные числа равны между собой.
7.4.8. Пример. Пусть заданы матрицы А, В е Мт> п и желательно выяснить, нельзя ли получить А посредством «вращения» матрицы В, т. е. не будет ли А = UB для некоторой унитарной матрицы U €= Afm? Более общо, если рассмотреть всевозможные «вращения» UB заданной матрицы В, то насколько хорошо ими можно аппроксимировать матрицу А в смысле наименьших квадратов? Эта задача известна в факторном анализе как задача отыскания «прокрустова преобразования» матрицы В.
Вычисления очень схожи с тем, что было в предыдущем примере. Нужно выбрать U так, чтобы минимизировать |\А — UB\\E; как и выше, находим, что
|| А - UB fE = [Л — UB, А — UВ) = || Л ||| - 2 Re [A, UB] +1| В Щ.
Таким образом, следует искать унитарную матрицу U, максимизирующую функцию Re [Л, UB] = Retr AB*U*. Если ЛВ* = *= VSIP — сингулярное разложение матрицы АВ*, то
Re tr AB*U* = Re tr VIW'U* = Re tr ZW*U*V
m
“ Re Z Gi(AB*) tu.
/=i
Здесь T = [tij]= W*U*V — унитарная матрица. Максимум этой суммы достигается, когда все tu = 1, т. е. когда U = VW*. Матрица VW* — это просто унитарный сомножитель в полярном разложении матрицы АВ*. -
Итак, для матрицы Л е Мт, п наилучшее среднеквадратичное приближение вида UB, где BeMm,„, a U eAfffl — унитарная матрица, определяется формулой UB =(VW*)B. Матрицы V, W входят в сингулярное разложение матрицы АВ*; можно использовать и полярное разложение АВ* = P(VW*); таким образом, знать V и W по отдельности нет нужды. Ошибка аппроксимации равна ^
min {|| Л — UB |j?: U е Мт унитарна } —1| Л — (VW*) В ||? =
т “| 1/2
1И|Ц + ||В|11-2?о,(ЛВ‘) .
?¦=1 . -I
где {ст, (ЛВ*)}—множество сингулярных чисел матрицы ЛВ*.
Пусть нужно выяснить, будет ли Л точным вращением матрицы В. Очевидно, что необходимым условием этого является равенство ЦЛЦе =||В||?; необходимые и достаточные условия имеют вид (снова (а,(ЛВ*)} обозначает множество сингулярных
чисел матрицы А В*)
т
1И1Ц=||В|Ц=?0((ЛВ*).
i = l
Рассмотрим в заключение частный случай т = п и B — I. Тогда получим следующий результат: наилучшее среднеквадратичное приближение заданной матрицы А^Мп унитарной матрицей U е Мп выражается формулой U=VW*, где V, W— матрицы из сингулярного разложения А = VStt?*. Иначе говоря, A = PU = P(VW*) есть полярное разложение матрицы А. Ошибка аппроксимации равна —
IIЛ - vw' |? = IIА Щ +II /1|| — 2 ? о, (Л) =
/¦=1
= ? о? (А) + п - 2 ? о, (А) = ? (а, (А) - I)2.
1 /*"1 ?*«1
Через Oi(A) обозначены сингулярные числа матрицы А.
Попутно с обсуждением предыдущего примера, мы нашли решение задачи о максимизации функции Retr AU на множестве всех унитарных матриц U. Для удобства последующих ссылок оформим этот результат как теорему.
7.4.9. Теорема. Пусть А^Мп — заданная матрица с сингулярным разложением А = VHW*. Тогда (а) задача
max{Retr.4t/: U^Mn унитарна}
имеет решение U — VW*, а значение максимума равно
о\(А)-\- ... -\-оп(А), где (о,(Л)} — множество сингулярных чисел матрицы А; (Ь) существует унитарная матрица U е Мп, такая,, что AU е Мп — эрмитова положительно полу определенная матрица. Унитарная матрица U тогда и только тогда является решением экстремальной задачи п. (а), когда матрица AU положительно полуопределена; если А невырожденна, то U определена однозначно. Собственные значения матрицы AU совпадают с сингулярными числами матрицы А.
Предыдущая << 1 .. 196 197 198 199 200 201 < 202 > 203 204 205 206 207 208 .. 260 >> Следующая