Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 197 198 199 200 201 202 < 203 > 204 205 206 207 208 209 .. 260 >> Следующая

Доказательство. Имеем Re tr AU = Re tr VZWV = Re tr S (W'UV) = ? Re of (W*UV)it.
Максимум этого выражения достигается, если все диагональные элементы матрицы W*UV равны 1. Поскольку матрица W*UV унитарная, это означает, что W*UV = /, или U = WV*. При таком выборе матрицы U получим AU = V'LW*WV* — VHV*; эта матрица эрмитова и положительно полуопределенная, поскольку
2 ==diag(ob ..., оп) и все а неотрицательны. Если UiGMn — произвольная унитарная матрица, для которой матрица AU\ положительно полуопределена, то собственные значения последней должны (в силу инвариантности сингулярных чисел) совпасть с сингулярными числами матрицы А. Единственность в невырожденном случае вытекает из утверждений о единственности в теореме 7.3.3. ?
Для произвольной матрицы А е Мт> п обе матрицы АА* к А* А положительно полуопределены и tr А А* = (A) -J- ,..
... + afnjn{m п} (Л); правую часть этого равенства можно рассматривать как сумму произведений сингулярных чисел матриц А и А*, учитывая, что сингулярные числа матрицы А* совпадают с сингулярными числами матрицы А. Это простое замечание допускает обобщение на любую пару матриц А, В, для которой оба произведения АВ и В А имеют смысл и к тому же положительно полуопределены. Это обстоятельство полезно при решении матричных оптимизационных задач нескольких типов.
7.4.10. Теорема. Пусть А е Мт, „, В е Мп, т и q = min{т, /г}. Обозначим через oi(A), ..., сг„(Л) и <Ji(B), gq(B) сингулярные числа соответственно матриц А и В, пронумерованные по невозрастанию. Если обе матрицы АВ е Мт и ВА е М„ положительно полуопределены, то найдется перестановка т целых чисел 1,2, ..., q, такая, что
tr АВ = tr В А = ? a i (Л) аг {П (В). (7.4.11)
i=1
Доказательство. Если т — п, матрицы Л и В коммутируют и при этом каждая из них положительно полуопределена, то обе матрицы можно диагонализовать одним унитарным преобразованием: A = UAU*, В — UMU*, U <= Мт — унитарная матрица, А — diag(Xj, ..., Хш), М = diag((ii, ..., цт) и все числа Xi, цг неотрицательны. Но тогда
т
tr АВ = tr {UAU*) (UMU*) = irUAMlf = tr A M =' E KVi-
Поскольку собственные значения щ являются в то же время сингулярными числами матриц Л, В, то в этом частном случае теорема доказана.
Без ограничения общности, можно считать, что т ^ п: если m > п, то можно просто поменять местами А и В в формулировке теоремы.
Мы утверждаем, что для доказательства теоремы в общем случае достаточно показать следующее: для любой пары мат-
®иц А^Мт.п, В ^Мп,т (т ^ п), такой, что оба произведения АВ и ВА положительно полуопределены, найдутся унитарная матрица V ^ Мп и матрица У е Мт, п с ортонормированг ными строками, для которых п X «-матрицы
A = Y*AV, В — V*BY * (7.4.12)
коммутируют и положительно полуопределены. Если это так, гго, согласно сказанному выше,
tr АВ = tr ABYY* = tr У* ЛБУ = tr (Y'AV) (V*BY) =
т tn
= ? о,(Y'AV) ог,ll(VBY)=Zol(A)oz(n (В).
1 i=l
Заметим, что А*А = V'A'YY'AV = V*A*AV = (ЛК)* (AV), поэтому сингулярные числа матрицы А совпадают с сингулярными числами матрицы AV, а те в силу равенства (AV) (AV)* = АА*— с сингулярными числами матрицы Л. Таким же образом показываем, что сингулярные числа матрицы В равны сингулярным числам матрицы В; следовательно,
т
trAB=Zol(A)ox„)(B),
f=l
что и утверждалось. Доказательство существования преобразования (7.4.12) с нужными свойствами разобьем на три этапа.
(1) Пусть А и В удовлетворяют условиям теоремы. Вспомним (см. теорему 1.3.20), что собственные значения матрицы ВА — это собственные значения матрицы АВ (с учетом кратностей) и дополнительно п — т нулевых собственных значений. Пусть Xi
у • • • 9 ^/71. собственные значения матрицы АВ'% положим A = diag(^i, ..., %т). Так как обе матрицы АВ и ВА по предположению эрмитовы, то найдутся унитарные матрицы U е Мт и Fe Мп, такие, что
AB = UAlt, вл = ^[о о]Г>
Представим матрицу V в виде V = [Vi\V2], где ^2G^n,n-m. Матрица Fj имеет ортонормированные столбцы, так что V\VX = / е Мт. Поскольку A = U*ABU и BA=V{АУ\, то В А = (1/Г1^*) АВ {JJV\y Положим У — UV\g Мт п и заметим, что УУ* = UV\V{U* = UU* = I, т. e. У имеет ортонормированные строки и BA — Y*ABY, Определим А и В формулами Л =
B=Y*A<E=Mn> В ==s BY еМп; тогда AB = Y*ABY = BA и ВА = = BYY*A = В А. Произведение В А положительно полуопреде-лено по предположению. Итак, существует преобразование вида
(7.4.12), где V — 1, приводящее к коммутирующей паре n X п? матриц с положительно полуопределенным произведением. Самй же матрицы А и В могут не быть положительно полуопределен-ными; чтобы добиться их положительной полуопределенности, может потребоваться еще одно преобразование вида (7.4.12),
(2) Не ограничивая общности, можем теперь предполагать, что т = п, А и В коммутируют и произведение А В положи* тельно полуопределено. Если (АВ)х — кх, где хфО, то {АВ) {Ах) = АВАх — ААВх = А {АВх) — А {кх) = к{Ах). Таким образом, каждое собственное подпространство эрмитовой матрицы АВ инвариантно относительно А. Аналогичным образом показываем, что каждое из этих собственных подпространств инвариантно относительно В. Отсюда следует, что если X], .., ..., Я, —все различные (неотрицательные) собственные значения положительно полуопределенной матрицы АВ с кратностями соответственно k\, kT {k\ + ... + kr = м), a U = = [u\ ... Un] — унитарная матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы АВ, причем собственные векторы, отвечающие одному и тому же собственному значению, расположены подряд, то обе матрицы U*AU и U*BU должны быть блочно-диагональными:
Предыдущая << 1 .. 197 198 199 200 201 202 < 203 > 204 205 206 207 208 209 .. 260 >> Следующая