Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 200 201 202 203 204 205 < 206 > 207 208 209 210 211 212 .. 260 >> Следующая

если m ^ п. Определим функцию g: Cq -> R+ формулой g (*)===
||X||. Тогда g(-) — симметричная калибровочная функция. Обратно, если g: Cq —> R+—заданная симметричная калибровочная функция и отображение || • ||: Mmj„->R+ определено формулой || А || = g ([<?!, ... , oqY), где olf ... , aq — сингулярные числа матрицы А, то || • || является унитарно инвариантной нормой на Мт^п.
Доказательство. Первая часть утверждения уже доказана. Переходя ко второй части, заметим, что функция ||-|| определена корректно, так как g(-) инвариантна относительно перестановок компонент аргумента. Поскольку множество сингулярных чисел матрицы не меняется при унитарных преобразованиях, то ИШП/||=||Л|| для любых унитарных матриц VgMb. Так как g(-)—векторная норма, то ЦЛЦ^О для всех Л еМт, п. Равенство ||Л|| —0 равносильно тому, что g('[oi, ... ..., о^]г) = 0, а это возможно в силу (7.4.18), лишь если все cFi = 0. Но нулевая матрица — единственная, чьи сингулярные числа все равны нулю, поэтому функция || • || положительна (см. 5.1.1а). Она также однородна, поскольку Oi(cA) = \c\Oi(A), а
потому || с А || = g([Mc!.....\c\oq]T) = |c|g([cb ..., oq]T) =
“|с|||Л||. To, что было сказано до сих пор, означает, что всякая функция Ц-ll, порождаемая данным способом посредством симметричной калибровочной функции, является квазинормой на Мт, п (см. § 5.4). Остается показать, что функция ||*|| удов-
яетворяет неравенству треугольника. Для этого мы докажем, что она двойственна к некоторой квазинорме и, следовательно, в действительности будет нормой.
Рассмотрим двойственную функцию gD(-) для нормы §(•) на С^:
gD(y)=s max Re у*х. (7.4.25)
fiW=1
Функция gD(') — всегда норма, так как g(*)—(квази)норма;более того, она является симметричной калибровочной функцией. Действительно,
(7.4.2 Г) если Е — diag (е*0*, е*в(/), где все 0t-е ft, то
gD (Ey) = max Re (Еу)* х = max Re у* (Ех) =
g(*)=i gW= i
= шах Re у* х = max Re ух = gD (#);
g(Ex)= 1 g(*)«l
здесь использовано свойство (7.4.21). Итак, gD(•) тоже удовлетворяет требованию (7.4.21). Аналогичное рассуждение показывает, что
(7.4.22') если Р е Mq — матрица перестановки, то
gD (pyj __ max Re (Ру)* х — max Re у*Ртх = gW=l
= max Re у x = max Re у x = gD (у),
g(Px)= 1 g(x)=l
поскольку для g(-) выполнено (7.4.22).
Таким образом, на Mm,n можно задать функцию Ц-|1Д» ассоциированную с симметричной калибровочной функцией g°(-)*
IIЛ |р = gD ([(Ti, ... , oq]T),
где <7i, ..., Gq — сингулярные числа матрицы Л. (Здесь мы умышленно нарушаем соглашение об обозначениях: символ ||-||е обычно используется для нормы, двойственной к Ц-.Ц, мы же пока не знаем, будет ли Ц *:|| нормой. Однако мы покажем, что это действительно так и что |HID, определенная посредством симметричной калибровочной функции gD(-), двойственна к || * II.) То, что эта .функция || -||° есть квазинорма на i Wm, п, следует, согласно сказанному выше, из того, что она порождена симметричной калибровочной функцией (•).
Вычислим теперь функцию, двойственную к ||-Ц°; в соответствии с определением 5.4.12 она обязательно будет нормой на Мт, п• Заметим, что матрица В е Мт, п тогда и только тогда удовлетворяет условию ]|B||D= 1, когда в ее сингулярном разложении В — V2.W* матрица Е = jdaag(<54, .»., <%) такова, что
gD([ai, .... o<7]r)= 1. Фиксируя матрицу ЛеМт.Л, получаем (|| A ||D)D га* шах Re [А, В] — шах Re tr АВ* =
ИВ I|^=I ||Я||°'=1
= шах {Re tr A (V'SW7*)*- V ^ Мт и W ^ А1п унитарны,. S==diag(sb , sq) и gD{[sb ... , sq]T)=l}.
Для каждой диагональной матрицы 2, подчиненной указанному условию, можно с помощью (7.4.14) найти максимальное значение по всевозможным выборам унитарных матриц V, W:
(IIА р)® = шах Ч (Л) | s{ |: gD ([su ... , s^f) = 1 j.
Так как все Gi(A)^0, то из определения 5.4.12 очевидно, что этот максимум в точности равен значению нормы, двойственной к g^X’)» на векторе [ai(A), ..., оя(А)\Т. Теорема двойственности 5.5.14 гарантирует, что вторая двойственная норма совпадает с исходной, поэтому
......а,(Л)Г) =
= g([<ri(A}, ..., ад(А)Г)^\\А\\.
Итак, lH||==(||i4||D)D для любой матрицы А еМт, л, откуда следует, что функция ||-|| действительно является нормой, а потому удовлетворяет неравенству треугольника. Этот вывод заодно оправдывает употребленное нами обозначение, поскольку по теореме двойственности (IH||)D =((||A||D)D)?) =||A||D. Итак, функция ||- IIе, определенная посредством симметричной калибровочной функции gv(-), на самом деле двойственна к норме
Ml. ?
Важный и хорошо известный пример симметричных калибровочных функций на С" дает семейство /„-норм (см. 5.2.4);
g ([*„ ... , хп]т) = || х ||р = (? | xt , 1<р<оо.
Применяемые к сингулярным числам матрицы?, как это описано в теореме 7.4.24, /р-нормы порождают на Мт, п унитарно инвариантные нормы, называемые р-нормами Шаттена. Случай р — 2 соответствует евклидовой норме
Предыдущая << 1 .. 200 201 202 203 204 205 < 206 > 207 208 209 210 211 212 .. 260 >> Следующая