Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 201 202 203 204 205 206 < 207 > 208 209 210 211 212 213 .. 260 >> Следующая

мь^Емл)2]1'2,.
предельный случав (при p-voo)— спектральной норме
|| А ||2 = шах {а* (Л)},
случай р = 1 — следовой норме
ми1г=2>,(л).
i
Следовая норма естественным образом появилась в примере
7.4.6, когда рассматривалась задача аппроксимации данной квадратной матрицы скалярным кратным унитарной матрицы. Другое семейство симметричных калибровочных функций на С", также включающее в себя следовую норму и спектральную норму, указано в (7.4.44).
7.4.26. Пример. Сингулярные числа играют важную роль в выводе неравенства Виландта, дающего геометрическое истолкование числа обусловленности квадратной невырожденной матрицы относительно спектральной нормы.
Пусть ЛеМл — невырожденная матрица; положим В ззз = и обозначим сингулярные числа матрицы А через
о\^ ... ^ оп. Собственные значения положительно определенной матрицы В (расположенные, как обычно, в порядке возрастания) суть ^ ^ ^Пусть х, 1/еСл — произволь-
ная ортонормированная пара векторов; определим матрицу С•== [х у) *В [х у] е М2, и пусть ее собственными значениями будут О <С Vi ^ 72. Теорема Пуанкаре 4.3.16 при г = 2 дает ,
^k(B)~°n-k+l Yft ^ “ аз-*» k=l, 2,
или
< < V, < <з% °1-1<У2<аЬ
Для наших целей интерес представляет лишь такое следствие этих неравенств:
^<Y,<Y2<<rf. (7.4.27)
Крайние соотношения превращаются в равенства, если в качестве х и у взять ортонормированные собственные векторы мат-
рицы В, отвечающие собственным значениям, которые совпадают с квадратами соответственно наибольшего и наименьшего сингулярных чисел матрицы А.
Теперь вычисляем
, (х*Вх) (у*Ву) - | х'Ву |г
4 (х*Вх + у*By)2 — (х*Вх — у*Ву)г 4 det С
(tr С)2 — (х*Вх — у* By)2 ~~
_________4ViV2 _______ > 4у1уг
(Yi + Y2)3 — (х Вх — y*Byf ^ (Y1 + Y2)2 *
i х*Ву |2 (х*Вх) {у*By)
В последнем переходе равенство имеет место тогда и только тогда, когда для ортонормированных векторов х, (/еС" справедливо соотношение х*Вх — у*Ву. Преобразуем полученное неравенство в эквивалентное:
| х*Ву |2 ^ . _ 4yiVa _ / Vi — Уз у / Vg/Vi — 1 V
(х*Вх) (у*Ву) (Yi + Y2)2 V Yi + Y2 / V Y2/Y1 + 1 /
(7.4.29)
Верхняя граница в (7.4.29) является монотонно возрастающей функцией отношения Y2/V1 (как легко показать, замечая, что производная функции f(t) = (t—!)/(/+1) положительна при f> 0). Согласно (7.4.27), это отношение ограничено сверху величиной of/cr2; следовательно,
7 -'У Т <(4т4^1Т = (4^1Т- (7.4.30)
(х Вх) (у By) V а\]о2п + 1 / V и2 + 1 /
Здесь введен положительный параметр х = х (Л) = oJon —
— IIЛИгУ представляющий собой число обусловленности
матрицы Л относительно спектральной нормы (или спектральное число обусловленности). Пусть щ, и„еС" — ортонормиро-ванные собственные векторы матрицы В, отвечающие соответственно собственным значениям о\ и с2. Если положить х —
г== {.Щ -f- ип)/д/2, у — (и1.— ип)/'у/2, то система {*, у} ортонор-мирована, х*Вх —у*Ву~(о\-\- ог^)/2 и х*Ву — (or2 — сг2)/2, поэтому в (7.4.30) достигается равенство.
Определим угол 0 из первого квадранта формулой ctg(0/2) = «= к; тогда
х2—1 ctg2 (6/2) — 1 cos2 (6/2) — sin2 (0/2) „
к2 + 1 ~~ ctg2 (6/2) + 1 ~ cos2 (6/2) + sin2 (6/2) ~ C0S
н (7.4.30) можно переписать в виде
—¦ х В--2—*<cos20 (7 4 ЗП
(х*Вх){у*Ву) ^cos
Замечая, что левая часть этого соотношения есть однородная функция степени 0 от каждого из аргументов х и у, мы можем, наконец, сформулировать неравенство Виландта. Приведем две его эквивалентные формы.
7.4.32. Теорема. Пусть ЛеМ„ — заданная невырожденная матрица со спектральным числом обусловленности х, и пусть угол 0 из первого квадранта определен формулой ctg (0/2) = х. Тогда для любой пары ортогональных векторов х, С" справедливо неравенство
|< Ах, Л» ) к cos е II A* llj II Ау ||2. (7.4.33)
Символ (и, и) = v*u обозначает евклидово скалярное произведение; через \\и\\2—(и*и)1/2 обозначена евклидова норма. Кроме того, существует пара ортонормированных векторов х, у <= С”, для которой в (7.4.33) достигается равенство.
7.4.34. Теорема. Пусть В е Мп — заданная положительно определенная матрица с собственными значениями A,i ^ ^ ...
... ^ "Кп. Тогда для любой пары ортогональных векторов х, у е С” справедливо неравенство
| *-Вг/ р < (Ьтт: У {х'Вх) {lJ'Dy)- (7.4.35)
Кроме того, существует пара ортонормированных векторов х, у е С", для которой в (7.4.35) имеет место равенство.
Предыдущая << 1 .. 201 202 203 204 205 206 < 207 > 208 209 210 211 212 213 .. 260 >> Следующая