Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 260 >> Следующая

Таким образом, Х^о(А) в том и только в том случае, когда матрица XI — А вырожденна, т. е.
1.2.3. Определение. Характеристический многочлен матрицы ЛеМя, рассматриваемый как формальный многочлен от t, определяется выражением
Замечание. Мы используем букву t как формальную пере* менную характеристического многочлена для того, чтобы отличать- ее от буквы X, которой обычно обозначается собственное значение или корень многочлена. Тем не менее иногда и для переменной, и для собственного значения используется одна и та же буква.
1.2.4. Утверждение. Характеристический многочлен Ра(') матрицы А^Мп имеет степень п, и множество корней уравнения pA(t) = 0 совпадает с а (А).
Доказательство. Тот факт, что Ра(-) имеет степень п, получается по индукции из разложения Лапласа для det(// — Л): каждая строка в tl— Л вносит в разложение одну и только одну степень буквы t. Вторая часть утверждения равносильна (1.1.3) и (1.2.2). ? '
Упражнение. Показать, что уравнение det (Л — tI) = Q имеет те ,же корни, что и уравнение det(tl— А) = 0 и при этом det(A— tl) = (—1)" det(Y/ — Л). Таким образом, характеристический многочлен можно было бы определить (и так иногда делают) иначе — как det (Л — tl). Показать, что принятое нами определение гарантирует, что (старший) коэффициент при tn
всегда равен-f-1*
Упражнение. Показать, что если Л = [? d то рА(t) = t2 — — (а + d) t + (ad — be) и
(XI — Л) х — 0, х ф 0.
(1.2.1)
det (XI — Л) =* 0.
(1.2.2)
рА (t) == det (tl — А).
а
а + d ± V(a — <02 + 46с 2
NaiatiamlWi
знание баз границ * ^
1.2» Характеристический многочлен - - 55
Доказать, что собственные значения матрицы A eM2(R) вещественны, если Ьс ^ 0. Более того, они вещественны в том и только в том случае, когда (а — d)2 -\-4bc ;> 0. Не будучи вещественными, они образуют пару комплексно-сопряженных чи« сел. Наконец, показать, что собственные значения различны, если (a — d)2 + Abe ф 0.
Упражнение. Показать, что если матрица Т&Мп треугольна:
* • • Мп
0 t
пп-
ТО сг(Г) = {/1Ь t22, .tnn} — множество диагональных элементов матрицы Т.
Упражнение, Все элементы матрицы /пеЛ1п равны 1;
L 1 ...
Каковы собственные значения матрицы /2? Показать, что все собственные значения матрицы /3 — это 0 (появляющийся дважды) и 3. Что будет в случае произвольного л? Указание, Рассмотреть вектор е=[\, 1, 1]г.
Упражнение. Найти все собственные значения и соответствующие собственные векторы матрицы
3 -1 -1
А
[-; з L-1 -1 3J
Указание. Записать А = 41 — /3 и воспользоваться предыдущим упражнением.
1.2.5. Определение. Главная ky^k-nodматрица в ЛеМ„-это подматрица, расположенная на пересечении k строк и столбцов с одинаковыми множествами номеров (см. разд. 0.7.1); ее определитель называется главным минором порядка k. В матрице A=[ayje Мп существует (*) различных главных миноров порядка k\ их сумма обозначается через Ek{A). В частно-
П
яти, Ei (Л) — ? аа называется следом матрицы Л и обычно обо-значается через tr а. Заметим, что Еп(А) = det Л.
Упражнение. Показать, что-для ЛеМ2 Ра (0 — t2 — (tr A) t + det А, ? Я = tr А, Ц X = det А.
Аео(Л) Яеа(.А)
Один из фундаментальных и непростых фактов —так называемая основная теорема алгебры (см. приложение С) — утверждает, что в множестве комплексных чисел любой многочлен степени п с комплексными коэффициентами имеет в точности п корней с учетом их кратности. .Опираясь на эту теорему, мы можем высказать следующее важное предложение.
1.2.6. Утверждение. Всякая матрица ДеС имеет в точности п (комплексных) собственных значений с учетом их кратности.
Замечание. Когда мы говорим о «кратности» собственного значения X матрицы А е Мп, то имеем в виду кратность I как корня характеристического многочлена рд(’). Более подробно о кратности собственных значений речь пойдет в разд. 1.4. Однако полезно уже сейчас отметить взаимосвязь между производными многочлена и кратностью его корня. Для любого многочлена р(() число % является его корнем кратности в
том и только в том случае, когда p(t) можно записать в виде p(t) = (t — k)kq(t), где многочлен q(t) такой, что q(k)=?0. Дифференцируя это соотношение, получаем p'(t) = k{t — —¦k)k~lq{t)4-(t — h)kq'{t). Следовательно, р'(Х) = 0 в случае, когда k > 1, и ни в каком другом случае. Если k > 1, то p"(t) = k(k — !)(/ — ^)*~2<7(0 + [сумма одночленов с общим множителем (t — X)m, где m ^ k — 1], так что р"(к) — 0, когда k > 2, и ни в каком другом случае. Повторение 5этого вычисления показывает, что к есть корень кратности k многочлена p(t) в том и только в том случае, когда р{Х) = р'(Х)= ... ... = p(k-1) (^) = о и (X) ф 0.
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 260 >> Следующая