Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 204 205 206 207 208 209 < 210 > 211 212 213 214 215 216 .. 260 >> Следующая

Доказательство. Согласно теореме 4.3.27, вектор Я(Л) = = Я( (Л—В)+В) = [Я*((Л— образованный собствен-
ными значениями матрицы А — (А — В)-{-В, мажорирует вектор Я (Л—В) + Я(В) = [Я, (Л — В) + Я,(В)], а это равносильно тому, что вектор Я (Л)—Я (В) мажорирует вектор Я (Л — В). ?
Используя следствие 7.4.47 и лемму 7.4.50 часто удается обобщить аппроксимационные теоремы или неравенства, полученные для евклидовой или спектральной нормы, на весь класс унитарно инвариантных норм.
Пусть, например, заданы матрицы Л, В е Мт> „ с сингулярными числами соответственно 01 (Л... ^oq(A) и Oi(B)^ ...
^ оя(В), и пусть <7 min{m, п}. Согласно (7.4Л5), справедливо неравенство
О<7 \ 1/2
С [о, (А) - о,(В)]2) .
Иначе эту нижнюю оценку можно записать как
||Л-В||?>1]2(Л)-2(В)||*,
подразумевая, что в сингулярных разложениях Л = К,2 (Л) W\ и B — VrI(B)Wl сингулярные числа расположены на «диагоналях» матриц 2 (Л) и 2(B) по убыванию: от наибольшего к наименьшему. Аналогичный смысл, но для спектральной нормы имеет неравенство (7.3.8а). Именно в этой форме соотношения 7.4.15 распространяются на все унитарно инвариантные нормы.
7.4.51. Теорема. Пусть Л, В — заданные матрицы из. Mmi п с сингулярными разложениями Л = 1/(Л) W], B = V2L(B)W*, где У|, We Mm и Wlt W2 s M„ — унитарные матрицы и «диагональные элементы» матриц 2(Л) и 2(B) расположены в порядке убывания. Тогда ||Л — В||^Ц2(Л) — 2(В)Ц, какова бы ни была унитарно инвариантная норма Ц*Ц на Мт>п.
Доказательство. Положим q — min {га, п). Используя теорему 7.3.7, сопоставим сингулярные числа матрицы Л
с первыми q неположительными собственными значениями эрмитовой матрицы
Г° А]
L л* о J
Л = I е= М
m+tf
Общий список из т + п собственных значений матрицы А, будучи упорядочен, выглядит так:
— Oj(i4)< —о2(4)< ... <-а9(Л)<0 = ...
, ... = 0<oq (Л)< ... <ах (Л);
аналогично выглядит список для В и А — В. Разностями упо-
/V
рядоченных собственных значений матриц А и В будут числа zt [а! (Л) — crj (В)], ..., ± [oq (Л) — aq (Б)] и нуль, взятый \т — п\ раз. Хотя неясно, как упорядочить эти числа в целом, q наименьшими среди них являются {— | ot (Л) — ог (В) |}, i = 1, ..., q. Лемма 7.4.50, примененная к А, В и А —В, дает k ( k
? - а, (Л - В) < min I Ё -1 <т(/ (Л) - а(/ (В) |: 1<«,< ...
... ^ ^ ^ j k — 1, ...,
что равносильно неравенствам
Е °i (Л — В) > шах | 2 | ог/у (Л) — о\,{В) |: 1 < ... < ik^q J,
k — 1, * •. j q.
Поскольку (|а,(Л)—сг,(В)|} есть множество сингулярных чисел матрицы 2(Л) — 2(B), то следствие 7.4.47 обеспечивает неравенство ||Л — В||^||2(Л)— 2(В)|| для любой унитарно инвариантной нормы || • ||. ?
7.4.52. Пример. Одно из следствий теоремы 7.4.51 состоит в том, что можно обобщить задачу о иаилучшем (в смысле наименьших квадратов, т. е. в смысле евклидовой нормы) приближении ранга k для заданной матрицы ЛеМп. Эта задача рассмотрена в примере 7.4.1. Пусть ||-||—унитарно инвариантная норма; если В eAf„ имеет ранг k, то ai(B)^ ... ^ол(В)> >0 = afc+i(B)= ... = оп(В). Следовательно,
|| Л — В || ^ || 2 (Л) — 2 (В) || =
= || diag (о, (Л) — oj (В), ..., ok (Л) — ok (В), ak+, (Л), ..., оп (Л)) ||> >||diag(0, 0, ak+x(A), а„(Л))||.
Здесь использовано то обстоятельство, что унитарно инвариантная норма, рассматриваемая на множестве диагональных матриц, монотонна, будучи симметричной калибровочной функцией диагональных элементов. Далее, если A = VI>{A)W* — сингу-лярное разложение матрицы А, то в последнем переходе достигается равенство в случае матрицы B—VEW*, где Е — = diag[cri(Л), ..., ak(A), 0, ..., 0].
Итак, для произвольной матрицы Л е Мп и всякой матрицы В е М„, имеющей ранг k, справедливы оценки
H-fi||>||diag(0, ..., 0, сг*+1(Л), ..., оп(А))||> >а„(Л) || diag(0, ..., 0, 1, 1)||
последнем выражении диагональ содержит k нулей), какова бы ни была унитарно инвариантная норма. В первой оценке может достигаться равенство; для второй это, вообще говоря, не так. Вторая оценка тривиальна для вырожденной матрицы А и следует единственно из свойства монотонности симметричных калибровочных функций, если Л невырожденна. Она имеет то достоинство, что в ее правой части сомножитель, зависящий от нормы, есть функция только от k, но не от Л. Из наших оценок, в частности, вытекает, что для любой невырожденной матрицы ЛеМ„ и любой унитарно инвариантной нормы ||*|| справедлива и достижима оценка
|| Л - ВЦ >оп(А) II diag(0, 0, 1)11 (7.4.53)
для расстояния от Л до произвольной вырожденной матрицы В. Другими словами, минимальное (в смысле унитарно инвариантной нормы ||-||) расстояние от Л до замкнутого множества вырожденных матриц равно оп(А) ||diag(0, 0, 1)||.
7.4.54. Пример. Опираясь на свойства симметричных калибровочных функций, молено дать простую характеризацию тех унитарно инвариантных норм на Мп, которые являются матричными нормами. Если ||*||—унитарно инвариантная матричная норма на М„, то, как мы знаем из следствия 5.6.35, ||Л||^ ог^Л), для всех ЛеМ„. Используя теорему 5.6.9 и тот факт, что всякая унитарно инвариантная норма на, М„ самосопряжена (см, задачу 2), мы можем доказать это и непосредственно. Действительно, [а1(Л)]2 = р(ЛМХ||ЛМ|К||Л*||||Л||=||Л||2. С другой стороны, пусть ||*|1—унитарно инвариантная норма на Мп, такая, что ||Л||^ oi (Л) для всех ЛеМ„, и пусть g— симметричная калибровочная функция на С", порождаемая нормой 11*11, Применяя указанные в задаче 18 из § 7.3 неравенства для сингулярных чисел, представляющие собой мультипликативный аналог обобщенных неравенств Вейля, а также учитывая моно-
Предыдущая << 1 .. 204 205 206 207 208 209 < 210 > 211 212 213 214 215 216 .. 260 >> Следующая