Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 205 206 207 208 209 210 < 211 > 212 213 214 215 216 217 .. 260 >> Следующая

тонкость нормы g, получаем .'•>
II ЛЯ II = ?(<7, (ЛВ), о2(АВ)... (АВ)) <
< S fai (Л) о, (В), Ст| (Л) <г2 (В).<г, (Л) а„ (В)) —
= a,(A)g(a,(B), а,(В), ..с„(В» = <*, (Л)|| В|[<|| Д|||| В|.
Итак, унитарно инвариантная норма || • || тогда и только тогда является матричной нормой, когда ЦЛ||^ а^Л)—ЦЛЦг для всех А^Мп. В частности, все /г-нормы Фань Цзы (& = 1,2, ..., п) и все р-нормы Шаттена для р ^ I (порождаемые симметричными калибровочными функциями соответственно семейств (7.4.44) и (5.2.4)) суть матричные нормы. Еще одно следствие этой характеризации: множество унитарно инвариантных матричных норм на Мп выпукло. Множество всех матричных норм на Мп невыпукло (см. задачу 9 из § 5.6).
Задачи
1. Пусть ранг матрицы Л е Мт, п равен k !> 0. Предположим, что нужно найти матрицу меньшего ранга
/| > 0, которая была бы наилучшим приближением к Л в евклидовой норме. Показать, что эта задача может быть решена следующим образом. Пусть Л — VT.W* — сингулярное разложение матрицы Л. Пусть ?i совпадает с Б в первых k\ «диагональных» позициях; остальные п — k\ «диагональных» позиций в Si нулевые. Тогда матрица Л н== VI^W* имеет требуемые свойства. Указание. Использовать (7.4.15). Отметим, что, как следует из примера 7.4.52, полученное приближение будет «наилучшим» не только для евклидовой, но и для любой унитарно инвариантной нормы.
2. Норму П *Ц на Мп называют самосопряженной, если ЦЛЦ = = ||Л*II для любой матрицы ЛеЛ1„. С помощью теоремы 7.4.24 показать, что всякая унитарно инвариантная норма на Мп самосопряжена. Привести пример самосопряженной нормы, не являющейся унитарно инвариантной.
3. Опираясь на теорему 7.4.10 и методы примера 7.4.6, определить наилучшее среднеквадратичное приближение заданной матрицы ЛеМт)П (считая т^п) скалярным кратным матрицы
Y €3 Мт>п с ортонормированными строками. Указание. Показать, что матрица Y представима в виде Y = VDW, где V <= Мт и W е Мп — унитарные матрицы, D — [I! 0} е Мт> п, I е Мт,
0 е Мт>п-т. Задача минимизации функции || Л — cY ||^ сводится
к минимизации |] Л \fE — (Re tr AY*)2[т. Пусть Л = V{2W\ — сингулярное разложение матрицы Л. Показать, что последняя за-
дача минимизации требует определения числа
max Re tr {ZWD*V: W ^ Mn и V унитарны}.
Для решения этой задачи использовать теорему 7.4.10 по аналогии с примером 7.4.13. Показать, что для значения погрешности приближения в данном случае справедливо то же выражение, что в примере 7.4.6,
4. Рассматривая диагональные матрицы Л, ВеМ„, показать, что в (7.4.11) возможны любые перестановки т.
5. Рассмотрим введенную в (7.4.7) функцию и (А). Показать, что и (ЛХ л[п || Л ||? для всех Л е Мп. Используя определение, доказать непосредственно, что и {А) — векторная норма на Мп. Объяснить, почему в действительности и(А) является даже матричной нормой на М„. Указание. См. пример 7.4.54.
6. Пусть матрица ЛеА1„ невырожденна и х(Л) = ^ИЛЦгЦЛННг — ее число обусловленности относительно спектральной нормы. Показать, что х(Л) равно отношению о\/оп наибольшего и наименьшего сингулярных чисел. Сравнить с оценкой к (А) ^ | МДл 1 •
7. Показать, что константа в неравенстве Канторовича
(7.4.42) есть квадрат отношения среднего геометрического чисел Л-i и Хп к их среднему арифметическому.
8. Пусть Л — невырожденная эрмитова матрица. С помощью неравенства Канторовича (7.4.40) показать, что
II ЛхЦ2Л А~*х Ц2 _ qf + ol 1 / (jj о^Л
™фХо \\Х\$ 2010« 2 \aft * aj /
Здесь ... ^ On — сингулярные числа матрицы Л. Пока-
зать, что Ci и On суть наибольший и наименьший из модулей собственных значений матрицы Л и что
где к — спектральное число обусловленности матрицы Л. Указать вектор х, для которого достигается максимум. Исходя из определения спектрального числа обусловленности и его связи с определенным выше максимумом, объяснить, почему должно быть
1 ( 01 . On\^Oi
2 U« "r cr4 / an ‘
Дать прямое доказательство этого неравенства. Указания. Показать, что функция f(x)—x — 1*~Н1Д)]/2 возрастает при х ^ 1,
9. Пусть Ль Я2, — заданные положительные числа,
С помощью неравенства Канторовича (7.4.42) доказать, что
(У* ~ о V У1 (Ятах+Ящщ)2
4ЯтахЯт1П ’
если числа ai, ..., ап неотрицательны и их сумма равна 1,
10. Доказать следующее обобщение неравенства Канторо-
вича (7.4.42) (Грэйб, Рейнболдт): пусть В, С е — коммутирующие положительно определенные матрицы с собственными значениями соответственно ?ц ^ ^ Ял и щ ^ ^ |дп<
ПГогда *
(x'BCxf > -(я^ГТет
для всех х е С". Указание. Для матриц В и С можно найти унитарную матрицу U е Мп, такую, что В = UAU* и С — UMU*1). Переписать доказываемое неравенство, вводя вначале вектор у= и*х, а затем вектор z — (АМ)1/2у. Далее, применяя теорему
7.4.41, показать, что требуемое неравенство выполняется (и достижимо) с константой вида
Предыдущая << 1 .. 205 206 207 208 209 210 < 211 > 212 213 214 215 216 217 .. 260 >> Следующая