Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 206 207 208 209 210 211 < 212 > 213 214 215 216 217 218 .. 260 >> Следующая

< V/ + ln»k)2
при некотором выборе индексов 1 ^ / Ф k ^ п. Показать, что наименьшая из таких констант соответствует выбору /=1, k — п. Это последнее неравенство2) может, однако, уже не быть достижимым.
И. Показать по контрасту с неравенством Канторовича
(7.4.42), что для положительно определенной матрицы ВеМя справедливо неравенство
(x’Bx)(x'B~liс) >|| *||*
при любом векторе х е Сп. Более общо, доказать, что при любых х, г/еС”
(х*Вх) (у*В'1 у) ^{x*yf,
если матрица ВеМ„ положительно определена. Для вектора х = В~1у здесь достигается равенство. Сделать окончательный вывод о том, что для любого хеС" одновременно выполняются неравенства
(x'xf < (х'Вх) Сх'В-'х) < la' (x'xf.
•) Где Л = diag(Я^ Я^), Af = diag — Прим. перев.
2) То есть неравенство при /' = 1, k = n.— Прим. перев.
Указание, С помощью неравенства Коши — Шварца показать, что
i=l i=l v * I 1 '
если все Я» !> О, и использовать представление В — UAU*.
12. Пусть В €Е Мп — положительно определенная матрица, а у е С"— произвольный ненулевой вектор. Определим функцию
f(B, y)&s minj-^pp: ^еС" и ***/=^о}.
Показать, что функция f{B,y) определена корректно; используя задачу 11, получить соотношение f(B,y)=\/(y*B~ly). Показать, что f обладает свойством супер аддитивности
f(A + B,y)>f(A,y) + f{B,y)
для любых положительно определенных матриц А, В е Мп и
всякого ненулевого вектора t/e Crt. Беря в качестве у i-й век-
тор естественного базиса, вывести неравенство Бергстрёма
det (А + В) ^ det А . det В . .
л, г R, » 1 *> • • •» п*
det (А{ + Bi) ^ det Ai 1 det Bi ’
в котором А, В — произвольные положительно определенные матрицы, a Ai е Мп-\ обозначает главную подматрицу, получаемую из А удалением t-й строки и i-го столбца (аналогичный смысл имеет символ Bi). Этот подход к доказательству неравенства Бергстрёма может служить примером применения очень полезной техники, называемой квазилинеаризацией: нелинейная функция интересующего нас аргумента представляется как экстремальное значение (при возможном наличии ограничений) другой функции, которая от того же аргумента зависит линейно (или, может быть, только аддитивно). В теореме 7.4.24 критический шаг (доказательство того, что квазинорма на Мт,п, определяемая симметричной калибровочной функцией от сингулярных чисел, в действительности является нормой) был выполнен посредством квазилинеаризации (см. (5.4.12)).
13. Если z — комплексное число, то для любого вещественного х выполняется неравенство |г —Rezj |z— х\. Правдоподобное обобщение этого неравенства на квадратные матрицы А е Мп имеет вид
где Я е Мя — произвольная эрмитова матрица. Доказать, что такое обобщение действительно справедливо для всякой уни-
тарно инвариантной и даже, более общо, всякой самосопряженной нормы || -||. Вывести отсюда, что расстояние (в смысле нормы I] *11) от заданной матрицы A eiH„ до замкнутого множества эрмитовых матриц из Мп равно (1/2) ||Л—А*]]. Указание. А —
— (1/2) (А + А*) = (1/2) (А — Я) + (1/2) (Я — Л*), поэтому \\А —(1/2) (Л+Л*)11<(1/2)|И-Я1| + (1/2)1|Я-Л*1|.
14. Для любого комплексного числа z выполняется неравенство |Rez|^Jz|. Доказать, что его тривиальное обобщение И (Л -|- Л*)/2||^||Л Ц справедливо для всех Л и всякой унитарно инвариантной (даже просто самосопряженной) нормы 11-11.
15. Пусть Л — заданная матрица из Мп с упорядоченными сингулярными числами cr'i ^ ... ^ Оп, и пусть Я| ^ ... ^ Кп суть упорядоченные собственные значения матрицы (1/2) (Л -\-L”j~ Л*). Объяснить, почему неравенства
1 ("2 ^ Ok (Л), k = 1, ..., п,
можно интерпретировать как обобщение неравенства Rez^Jz] для комплексных чисел. Обобщение утверждает: k-e по порядку сингулярное число матрицы Л не меньше, чем k-e по порядку собственное значение матрицы (1/2) (Л + Л*). Указание. Если у— вектор единичной евклидовой длины, то
1 у' (А + А') у = Re у' Ау «\\Ау ||,.
Представляя kn-k+i с помощью теоремы Куранта — Фишера, использовать данное неравенство, а также теорему 7.3.10, чтобы
ПрИЙТИ К Ok-
16. Пусть задана матрица А^Мп, и пусть || -||— унитарно инвариантная норма на Мп. Посредством теоремы 7.4.51 показать, что ||Л — ?/||^112(Л)— /|| для всякой унитарной матрицы U еМп и что это неравенство достижимо, Сделать отсюда вывод о том, что ||2 (Л) — /|| есть расстояние (в смысле нормы Ц*||) от Л до компактного множества унитарных матриц из Мп.
17. Пусть ЛеМп имеет сингулярное разложение Л =
— VL{A)W*, и пусть II-II — унитарно инвариантная норма на Мп. Показать, что для любой унитарной матрицы U е Мп справедливы неравенства
|| 2 (Л) - / II < || Л - [/1| < Ц 2 (Л) + / II.
Указание. Показать, что 2(U)—I в любом сингулярном разложении любой унитарной матрицы U; поэтому нижняя оценка сразу следует из теоремы 7.4.51. Что касается вывода верхней оценки, то нужно использовать неравенства для сингулярных чисел (аналоги аддитивных неравенств Вейля для собственных
Предыдущая << 1 .. 206 207 208 209 210 211 < 212 > 213 214 215 216 217 218 .. 260 >> Следующая