Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 209 210 211 212 213 214 < 215 > 216 217 218 219 220 221 .. 260 >> Следующая

Доказательство. Пусть матрицы А и В положительно полу-определены. Возьмем в качестве х вектор из Сп, все компоненты которого равны 1. Выписанная в формулировке теоремы сумма есть х*(АоВ)х для этого специального выбора вектора х. Так как матрица А ° В положительно полуопределена, то сумма неотрицательна. Пусть, обратно, 0 для любой положи-
тельно полуопределенной матрицы В. Каждому вектору хеСл сопоставим матрицу В = [Ьц] as [xixj]. Поскольку В положительно полуопределена, то
п п
? aifiu= ? aijXiXj —х*Ах^О.
i, /=1 i, /=1
Вследствие произвольности вектора хеС" делаем вывод о положительной полуопределенности матрицы А. ?
7.5.5. Приложение. Пусть D с R" — открытое ограниченное множество. Линейный дифференциальный оператор L второго порядка, задаваемый на С2 (D) формулой
Lues ? ач М -ЩЖ' + Z ъ‘ М Ж. + d(x) “• (7-5-6)
I, /=1 1 1 i=l *
называется эллиптическим в D, если матрица А (х) = [ац{х) ]]
положительно определена для всех xefl. Предположим, что существует функция ueC2(D), непрерывная на замыкании D и удовлетворяющая в D уравнению Lu эз 0. Что можно сказать
о локальных максимумах или минимумах функции и, достигаемых в точках области D? Пусть у е D есть точка локального минимума функции и. Тогда
для /= 1, 2, п и гессиан
положительно определен в точке у. Следовательно, в этой точке
п
Lu = 0 = ?
/=1 1 1
и по теореме Фейера 7.5.4 сумма членов со вторыми производными должна быть неотрицательна. Поэтому слагаемое с (у) и (у) обязано быть неположительно. В частности, если c(y)<i 0, то неравенство и{у) <С 0 невозможно. Аналогичное рассуждение показывает, что при с(*/)<0 значение и(у) во внутренней точке локального максимума не может быть положительным. Эти простые замечания составляют суть следующего важного принципа.
7.5.7. Слабый принцип минимума. Пусть оператор L, задаваемый формулой (7.5.6), эллиптичен в области Ь, и пусть с(х) < 0 в D. Если функция и <= C2(D) удовлетворяет в D уравнению Lu == 0, то и не может иметь ни отрицательного внутреннего локального минимума, ни положительного внутреннего локального максимума. Если, вдобавок, функция и непрерывна на замыкании области D и неотрицательна на ее границе, то и должна быть неотрицательной всюду в D.
Из принципа минимума вытекает одна из фундаментальных теорем единственности для уравнений с частными производными:
7.5.8. Теорема единственности (Фейер). Предположим, что оператор L, задаваемый формулой (7.5.6), эллиптический, и пусть с(л:)<0 в области D. Рассмотрим следующую краевую задачу.
Lu = / в D, где f — заданная функция; и =3 g на dD, где g — заданная функция; и дважды непрерывно дифференцируема в D; и непрерывна на замыкании области D.
Тогда имеется не более одного решения этой задачи.
Доказательство. Если щ и и,2 — два решения данной задачи, то функция и 22= и\ — и2 есть решение задачи того же типа, но с нулевыми краевыми условиями, и Lv = 0 в D. Согласно слабому принципу минимума, v должна быть неотрицательна в D. Применяя аналогичное рассуждение к функции —v, установим, что v в то же время должна быть неположительной в D. Следовательно, V ?5= 0 В D.
18 Р. Хорн, Ч. Джонсон
Упражнение. Продемонстрировать применение слабого принципа минимума и теоремы единственности 7.5.8 на примере уравнения с частными производными V2u — Ли == 0, где К — положительный параметр, D a R".
Приведем в заключение еШе одно легко доказываемое следствие теоремы о произведении Шура. Если А = [ац\^ Мп — положительно полуопределенная матрица, то матрица А°А = [а^] также положительно полуопределена. По индукции можно показать, что положительно полуопределены все натуральные ада-маровы степени [afj, k — \, 2, ... . Поскольку любая неотрицательная линейная комбинация положительно полуопределенных матриц сама положительно полуопределена (см. утверждение 7.1.3), то матрица
т раз
а§1 -f~ ct\A ~j~ а%А о A -J- ... -f- атА ° ... ° А ==:
= 1а061/+а,а1/+а2а1,+ ••• + Vul = [f("l/)I
положительно полуопределена, если все ai^s 0; здесь р(х)~ ==«o + «i*+ ••• + атхт — многочлен с неотрицательными коэффициентами. Более общо, если в разложении аналитической функции f(z) в степенной ряд
/(z)=Z akzk k *=о
с радиусом сходимости R > 0 все коэффициенты а* неотрицательны, то простым рассуждением, основанным на предельном переходе, устанавливается положительная полуопределенность матрицы [|(й;/)]еА[„ в случае, когда все а,-/ по модулю меньше R. Вероятно, простейшим примером является функция f(z)=ez: представляющий ее степенной ряд сходится для всех ге Си все коэффициенты а*. = 1 fk\ положительны. Согласно доказанному, матрица /] положительно полуопределена, если положительно полуопределена матрица А — [ац\ е Мп. Этот результат можно усилить; существуют более слабые условия на А, обеспечивающие положительную полуопределенность поэлементной экспоненты от А (см. [HJ]).
Предыдущая << 1 .. 209 210 211 212 213 214 < 215 > 216 217 218 219 220 221 .. 260 >> Следующая