Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 211 212 213 214 215 216 < 217 > 218 219 220 221 222 223 .. 260 >> Следующая

14. Пусть /4еМ„ — положительно полуопределенная матрица. Показать, что для вектора дсеО равенство х*Ах — О равносильно тому, что Ах = 0. Привести пример незнакоопределенной эрмитовой матрицы А и вектора л:, таких, что х*Ах — 0, но Ах Ф 0. Указание. Если привлечь спектральное разложение матрицы A: A —UAL/*, то равенство х*Ах — 0 переходит в ? А,г | zt |2 = 0, где z = U*x.
15. Выпуклым конусом (с вершиной в точке 0) называется выпуклое множество S, содержащее вместе с каждым xgS весь луч {Кх: Х^О}. Луч {Ях: А, ^ 0} называется крайним, если представление х — ау + (1 — «) г, где. 0<а<1 и y,z ^ S, возможно лишь для у и z, лежащих на том же луче; другими словами, луч выпуклого конуса является крайним, если при его удалении оставшийся конус сохраняет выпуклость. Показать, что в выпуклом конусе положительно полуопределенных матриц из Мп луч {ХА: Я ^ 0} тогда и только тогда является крайним лучом, когда матрица А. имеет ранг 1. Теперь теорему 7.5.2 можно переформулировать так: всякая положительно полуопределенная матрица есть выпуклая комбинация матриц, лежащих' на крайних лучах. Указание, (а) Пусть х — ненулевой вектор из С", и пусть хх* = а А + (1 — а) В для некоторого числа ае(0,1) и положительно полуопределенных матриц А, В <= Мп. Пусть {*1, ..., хп)cz С"—ортонормированный базис, в котором x*xk — 0 для k = 2, ..., п. Тогда 0 = x*kAxk == x*kBxk, т. е., согласно задаче 14, каждый вектор Xk, k = 2, . .., п, принадлежит и ядру матрицы А, и ядру матрицы В. Вывести отсюда, что обе матрицы А, В имеют ранг 1 и являются положительными кратными матрицы хх*. (Ь) Если У1еМя—положительно полуопределенная матрица ранга k^2, то, пользуясь теоремой 7.5.2,
представить ее в виде А — В + С, где В — vv*, и ф 0, rank С ^ I и Cv = 0. Сделать отсюда вывод о том, что С не кратна В и, следовательно, А не принадлежит крайнему лучу.
7.6. Конгруэнтность: произведения и одновременная диагонализация
В отличие от умножения положительных чисел обычное матричное умножение не всегда сохраняет положительную определенность. Произведение двух эрмитовых матриц может даже не быть эрмитовым (эрмитовость сохраняется тогда и только тогда, когда сомножители коммутируют), и квадратичная форма, порождаемая произведением, может не быть неотрицательной. В данном параграфе главный упор сделан на положительно определенные матрицы; более общие результаты об эрмитовых матрицах указаны в § 4.5.
7.6.1. Пример. Матрицы A— ~j], В — [i|] положи-
"831 г* 8 01
тельно определены. Однако ЛВ = [_3_1], Я(ЛБ) = [0_1], так что матрица АВ несимметрична, и ее эрмитова часть незнако-определена.
И все же по меньшей мере одно свойство положительности сохраняется обычным произведением положительно определенных матриц. Следующее обсуждение продемонстрирует некоторые полезные приемы работы с произведениями и суммами матриц.
7.6.2. Определение (повторное). Матрицы А, В е Мп называются эрмитово конгруэнтными, если В = С*АС для некоторой невырожденной матрицы С е Мп.
Заметим, что, как и подобие, эрмитова конгруэнтность является отношением эквивалентности. Чтобы отличать ее от вещественной конгруэнтности, иногда в комплексном случае используют термин «конъюнктивность».
7.6.3. Теорема. Произведение положительно определенной матрицы А е М„ и эрмитовой матрицы В е Мп есть диагонали-зуемая матрица, все собственные значения которой вещественны. Матрица АВ имеет такое же число положительных, отрицательных и нулевых собственных значений, как и матрица В. Обратно, всякая диагонализуемая матрица с вещественными собственными значениями может быть представлена в виде произведения положительно определенной и эрмитовой матриц.
Доказательство. Для первого утверждения теоремы воспользуемся равенством А~1/2АВА1/2 = А1/2ВА1/2; матрица в правой .части подобна матрице АВ и, следовательно, имеет те же соб*
ственные значения. Поскольку Л1/2 —эрмитова матрица, то матрицы А1/2ВА1/2 и В эрмитово конгруэнтны. Согласно закону инерции (закону Сильвестра 4.5.8), собственные значения матрицы В имеют те же знаки, что и собственные значения матрицы А1/2ВА1'2, т. е. собственные значения матрицы АВ. Кроме того, матрица Л1/2ЯА1/2 эрмитова, а потому диагонализуема, но тогда и АВ должна быть диагонализуемой. Переходя к последнему утверждению, предположим, что матрица С е Мп диагонализуема и имеет только вещественные собственные значения: С = SDS-1, где D — вещественная диагональная матрица. Тогда С = S(S*S*-l)DS~l = {SS*) {S-'*DS-l) = AB; здесь матрица A see SS* положительно определена, а матрица В S~l*DS~l эрмитова. ?
Одновременная диагонализуемость двух наугад выбранных матриц посредством преобразования „подобия — редкое событие, требующее для своей реализации сильного свойства коммутативности. Но для диагонализуемости двух эрмитовых матриц одним и тем же преобразованием эрмитовой конгруэнтности нужно гораздо меньше. Одновременная диагонализуемость посредством преобразования эрмитовой конгруэнтности соответствует преобразованию двух эрмитовых квадратичных форм в линейную комбинацию квадратов посредством одной и той же линейной замены переменных. Приведем классический результат на эту тему; относительно его обобщения см. теорему 4.5.15.
Предыдущая << 1 .. 211 212 213 214 215 216 < 217 > 218 219 220 221 222 223 .. 260 >> Следующая