Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 212 213 214 215 216 217 < 218 > 219 220 221 222 223 224 .. 260 >> Следующая

7.6.4. Теорема. Пусть А, В&Мп—эрмитовы матрицы, и пусть существует их вещественная линейная комбинация, являющаяся положительно определенной матрицей. Тогда найдется невырожденная матрица С е Мп, такая, что обе матрицы С*АС и С*ВС диагональны.
Доказательство. Предположим, что матрица Р = аА + 0В положительно определена для некоторых а, (3 е R. Хотя бы одно из чисел а, р должно быть ненулевым; предположим, например, что |3=й0. Так как в этом случае B = fH(P— а А), то, доказав одновременную диагонализуемость посредством преобразования эрмитовой конгруэнтности матриц А и Р, мы установим тем самым одновременную диагонализуемость А и В. Согласно теореме 7.2.7, Р эрмитово конгруэнтна единичной матрице, т. е. С\РСХ = 1 для некоторой невырожденной матрицы Ci е Мп. Поскольку матрица С]АС{ эрмитова, найдется унитарная матрица U, такая, что U*C\ACXU — D— диагональная
матрица'. Полагая C=Ci?/, получаем С*PC —Г, С*АС = D; следовательно, C*BC=fi~l(I — aD) —также диагональная матрица. ?
Чаще всего этот результат применяется в классической (идущей из механики) ситуации, когда заданы две вещественные симметричные квадратичные формы, одна из которых положительно определена.
7.6.5. Следствие. Если матрица А е Мп положительно определена, а матрица В е Мп эрмитова, то найдется невырожденная матрица С е Мп, такая, что С*ВС — диагональная матрица, а С*АС — единичная.
Упражнение. Найти замену переменных, превращающую обе квадратичные формы 5х2— 2ху -f- у2 и х22ху — у2 во взвешенные суммы квадратов.
Аналогичный результат имеется для пары матриц, одна из которых положительно определена, а другая — комплексная симметричная. Этот результат также обобщается в теореме 4.5.15.
7.6.6. Теорема. Если матрица /4еМЛ положительно определена, а В^Мп — комплексная симметричная матрица, то найдется невырожденная матрица С, такая, что обе матрицы С*АС и СТВС диагональны.
Доказательство. Выберем невырожденную матрицу Су е Мп так, чтобы С\АС1 — I. Матрица С\ВСХ симметрична, и из разложения Такаги (4.4.4) следует существование унитарной матрицы U, для которой матрица UT (C[BCt) U = D будет диагональной. В то же время U* (С*. ЛСЛ ?/= /; поэтому можно положить С н= Ci и. ?
Этот результат имеет приложения в теории функций комплексного переменного; так, неравенства Грунского для однолистных функций суть соотношения между квадратичными формами, порождаемыми соответственно положительно определенной эрмитовой матрицей и комплексной симметричной матрицей.
Следующее утверждение непосредственно вытекает из следствия 7.6.5.
7.6.7. Теорема. Функция f{A)= log det А, рассматриваемая на выпуклом множестве положительно определенных эрмитовых матриц из М„, строго вогнута.
Доказательство. Для любых двух заданных положительно определенных матриц А, В е Мп нужно проверить справедливость неравенства
f {аА + (1 — а) В) > af (Л) + (1 - а) f (В) (7.6.8)
при всех аб(0,1); при этом равенство должно достигаться только в случае А — В. Опираясь на следствие 7,6.5, найдем
невырожденную матрицу СеМЯ) такую, что Л — С/С*, В — — С АС* и A —diag (Ai, Л«), причем все fa > 0. Теперь
f (аА + (1 - а) В) = f (С [а/ + (1 - а) Л] С*) =
“ f (СС*) + f (а/ + (1 — а) Л) = / (А) + f (а/ + (1 — а) Л), И) + (1 - «) f (В) = а/ (Л) + (1 - а) / (САС*) =
= а/ (Л) + (1 - а) [/ (СС*) + f (Л)] -
— af (Л) 4* (1 а) / (Л) + (1 — а) / (А) =
— f (Л) -f- (1 — a)f (Л).
Таким образом, достаточно показать, что для любой диагональной матрицы Л с положительными диагональными элементами и для всех ае(0, 1) справедливо неравенство f (а/ + (1 — а) Л) ^ ^(1—а)/(Л). Но это легко следует из строгой вогнутости самой логарифмической функции:
/<а/ + (1-а)Л)=1оВП[а + (1-а)У =
V
= Z log [а + (1 — а) Я,] >
i=> 1
> Z [«log 1 + (1 — а) log Я,] = i=1
= (1 — «) Z log ^ = (1 — a) log П Я,- =
/=i »¦*= l
— (1 — a) log det A = (1 — a) f (A).
Равенство в среднем переходе достигается тогда и только тогда, когда все fa равны 1, т. е. только для Л = /, что соответствует
В = CIC* = л. ?
Теорема 7.6.7 часто используется в другой форме, получаемой потенцированием неравенства (7.6.8). В этой форме она дает количественное выражение того факта, что выпуклая комбинация положительно определенных матриц сама положительно определена и, следовательно, должна быть невырожденной.
7.6.9. Следствие.^ Пусть матрицы А, В^.Мп положительно определены, и пусть 0 < а < 1. Тогда
det [аЛ + (1 — а) В] > [det Л]а [det В]1~а.
Равенство достигается в том и только в том случае,если А—В.
Задачи
1. Пусть матрица А е Мп удовлетворяет соотношению А* = S-'AS, где матрица SgM„ положительно определена. Показать, что А диагонализуема и все ее собственные значения вещественны. Указание. Рассмотреть равенство Л5 = 5Л*. Показать, что Л5 — эрмитова матрица, и применить теорему 7.6.3.
Предыдущая << 1 .. 212 213 214 215 216 217 < 218 > 219 220 221 222 223 224 .. 260 >> Следующая