Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 223 224 225 226 227 228 < 229 > 230 231 232 233 234 235 .. 260 >> Следующая

8.1.20. Следствие. Пусть А^Мп и А ^0. Если А— произвольная главная подматрица в А, то р(А)г$Ср(Л). В частности,
шах ап^р(Л).
i=I, .... п
Доказательство. Пусть 1 ^ г ^ п и А обозначает какую-то главную г X /"-подматрицу в А. Рассмотрим также матрицу А — ее размер «Х« и она получается из А заменой на нули всех элементов, не входящих в А, причем элементы, принадлежащие Я, остаются неизменными на своих местах. Тогда р(Л)=р(Л)
'Ч, />
и 0 А ^ Л; стало быть,, р (Л) = р (Л) р (Л) в силу следствия 8.1.19. ?
Нижняя оценка ац ^ р(Л), установленная этим следствием,— это первая нетривиальная оценка спектрального радиуса не обязательно эрмитовой матрицы. Впрочем, неотрицательность матрицы Л существенна.
Упражнение. Построить матрицу, которая подобна матрице [° q] и не имеет нулевых элементов. Каков ее спектральный радиус? Будет ли она неотрицательной? Как это связано с последней частью следствия 8.1.20?
Упражнение. Показать, что если Л, Ве Мп и 0 ^ Л < В, то Р(Л) < р(В). Указание. Существует а > 1, такое, что 0 ^ Л ^ аА < В. Далее при р(Л)^0 использовать следствие 8.1.19, а при р(Л) = 0 — следствие 8.1.20, примененное к матрице В.
Мы скоро получим довольно хорошие верхние оценки для спектральных радиусов неотрицательных матриц, и тогда теорема 8.1.18 позволит установить верхние оценки спектральных радиусов для произвольных матриц.
8.1.21. Лемма. Пусть А е Мп, и предположим, что А ^ 0. Если строчные суммы для А постоянны, то ?>(Л)=||Л||оо. Если для А постоянны столбцовые суммы, то р(Л)=||Л||1.
Доказательство. Как известно, р(Л)^||Л|| для любой матричной нормы Н* ||. Если же строчные суммы постоянны, то х = [1, 1]г есть собственный вектор, отвечающий собствен-
ному значению ||Л||оо, и потому р(Л) =||Л||оо. Рассматривая столбцовые суммы, можно использовать те же доводы, примененные по отношению к Ат, ?
8.1.22. Теорема. Пусть А е Мп, и предположим, что Л^О. Тогда
п п
min 2 < Р (Л) < max ? аи, (8.1.23)
1 <t<n /=1 /=1
п п
min Е < р (Л) < max ? аи. (8.1.24)
i = l 1</<Я f = l
п
Доказательство. Положим а= min Z af/ и построим новую
/ = 1
П
матрицу В, такую, что Л^В>0 и = а Для всех /=*1,
/=1
2, Например, при а = 0 полагаем В = 0, а если а>0,
то можно взять Ьц~аа^ (s ац У По лемме 8.1.21 р(В) = а
и р(В)^р(Л) согласно следствию 8.1.19. Верхние оценки уста* навливаются в том же духе. Оценки со столбцовыми суммами для матрицы Л вытекают из оценок со строчными суммами для матрицы Ат. ?
Упражнение. Доказать верхние оценки теоремы 8.1.22.
П
8.1.25. Следствие. Пусть ЛеМ„. Если Л^О и^аи>0
/=1
для всех /=1, 2, ..., п, то р(Л)>0. В частности, р(Л)>0, если А > 0 или если А неразложима и неотрицательна.
Упражнение. Показать, что неразложимая матрица не может иметь нулевую строку или нулевой столбец.
Поскольку р(5-1Л5) = р(Л) для любой невырожденной матрицы S, полученную выше теорему можно обобщить за счет введения некоторых свободных параметров. Если S = = diag(*i, ...,*«) и я, > 0 для всех i, то 5_1Л5 ^ 0 при
— 1 Г ¦ 11
Л^О. Теорему 8Л.22 применим к матрице S As=[ai}x}xi J и получим следующий более общий результат.
8.1.26. Теорема. Пусть ЛеМ„, и предположим, что А ^ 0. Тогда для любого положительного вектора jcgC" справедливы неравенства
min ~ Ё А^<р(Л)< max ~ Ё «//*/> (8Л.27)
хi /=1 1<г<я Xi /=1
п п
min х, V -^-<р(Л)^ max х, У*(8Л.28)
1 8.1.29. Следствие. Пусть A gM„, хе R", и предположим, что
А ^ 0 и х > 0. Если числа ос, р ^ 0 таковы, что ах ^ Лх ^ рх, то а^р(Л)^р. Если ах <С Ах, то а<р(Л); если Ах <С рх, го р(Л) < р.
П
Доказательство. Если ах^Лх, то а< min хГ1 X «//*/> и по
l<i<n /=1
теореме 8.1.26 а ^ р(Л). Если ах < Лх, то для какого-то а' > а имеем а'хг^Лх. В этом случае р(Л)^а'!>а, так что р(Л)>^
> а. Верхние оценки проверяются аналогично. ?
Упражнение. Завершить доказательство следствия 8.1.29.
8.1.30. Следствие. Пусть ^еМ„, и предположим, что матрица А неотрицательна. Если А имеет положительный собственный вектор, то отвечающее ему собственное значение есть р(Л); другими словами, если Ах==Хх, х>0 и А^О, то Х — р (А).
Доказательство. Если х > 0 и Ах — Хх, то Х^О и Хх ^ s^Ax^Xx, но тогда, согласно следствию 8.1.29, Я^р(Л)^ < X. ?
Предыдущая << 1 .. 223 224 225 226 227 228 < 229 > 230 231 232 233 234 235 .. 260 >> Следующая