Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 260 >> Следующая

7. С помощью теоремы 1.2.12 построить характеристический многочлен матрицы
"1 1 0 0 0"
1 1 1 0 0
0 1 1 1 0
0 0 1 1 1
0 0 0 1 1
Попробовать эту же процедуру применить для вычисления характеристического многочлена произвольной трехдиагональной п X n-матрицы (см. разд. 0.9.10).
8. Показать, что если матрица А е Мп имеет собственные значения Яь ..., Ял, то
1Гл*=Ея?
для любого целого положительного k. Сумма справа называет-* ся k-м моментом собственных значений матрицы А.
9. Явно выписать 52(ЯЬ ..., Я6) 53(Я,, ..., Я6), 54(ЯЬ Я6)
и 5§(Я|, • • •, Xg).
10. Пусть V — векторное пространство над полем F. Собственное значение линейного преобразования Т: V — это
число Я е= F, такое, что для некоторого ненулевого вектора tie V имеем Tv — %v. Доказать, что если F есть поле комплекс'* ных чисел и V конечномерно, то любое линейное преобразовав ние Т имеет собственное значение. Привести примеры того, что, исключив любое из условий — конечномерность пространства V. йли то, что F = C, — можно получить преобразование Т\ не
имеющее собственных значений. Указание. Взять в V базис $8 и рассмотреть матрицу %[Т]$.
11. Пусть р (/) = antn + an_itn~x -f ... -f a{t -f- a0, an — 1, —¦ некоторый многочлен со старшим коэффициентом 1 и ...
..., Хп — его корни (с учетом кратностей); 6-й момент корней обозначим через = Ц + Ц + ... -f- (k = l, 2, ...). Установить тождества Ньютона
и объяснить, почему первые п моментов корней однозначно определяют коэффициенты многочлена p(t) (а значит, и его корни), и наоборот. Указание. Показать, что для некоторого R > 0
при 111 > R имеем (t — А,*)-1 = t~x -f- Я*/-3 и, сле-
довательно,
f (t) = XI — яi) 1 — nt 1 -j- 2 -j- v-4 3 • • •» 111 > R-
Доказать, что /?'(t) = p (t) f (t); сравнение коэффициентов приводит к тождествам Ньютона и к дополнительный соотношениям
M-ft#э + M-fe+i^i -+-••• + + M-n+fea/t — О» k = l, 2, ...,
для моментов более высокого порядка.
12. Пусть заданы матрицы Д, BeМп. Доказать, что для того, чтобы А я В имели одни и те же собственные значения, необходимо и достаточно, чтобы trAk = trBk для всех k {k = = 1, 2 п). Указание. Установить совпадение характери-
стических многочленов матриц Л и В, а для этого воспользоваться задачей 8 и тождествами Ньютона (1.2.14).
Как уже отмечалось в § 1.0, преобразование подобия для матрицы из Мп соответствует представлению линейного преобразования пространства С" в другом базисе. Таким образом, можно считать, что, изучая подобные матрицы, мы будем устанавливать свойства, присущие соответствующему линейному преобразованию, или свойства, общие для всех его представлений в различных базисах.
kan_k -f- Hi<zn_fe+i + fc+2 + VkPn “ 0»
k — \, ..., ti,
П
1.3. Подобие
1.3.1. Определение. Матрица ВеМл называется подобной матрице А е Мп, если существует невырожденная матрица
!Wcrl/ai/s;®fc
S e М„, такая, что
В = 5_1Л5.
Преобразование Л->5_1Л5 называется преобразованием подобия (или просто подобием), осуществляемым посредством трансформирующей матрицы S. Отношение «? подобна Л» иногда записывается сокращенно В ~ Л.
1.3.2. Утверждение. Подобие является отношением эквивалентности «а Мп, а именно оно
(a) рефлексивно: А ~ Л;
(b) симметрично: В ~ А влечет за собой А ~ В\
(c) транзитивно: С ~ В и В ~ А влекут за собой С ~ А.
Упражнение. Доказать утверждение 1.3.2.
Как и любое отношение эквивалентности, отношение подобия разбивает множество Мп на непересекающиеся классы эквивалентности. Любой класс эквивалентности состоитj из множества всех матриц, подобных любой заданной входящей в него матрице — представительнице этого класса. Все матрицы из одного класса эквивалентности подобны и никакие матрицы из двух разных классов не являются подобными. В произвольной последовательности матриц, в которой соседние матрицы подобны, вследствие транзитивности подобия первая и последняя матрицы принадлежат одному и тому же классу подобия. Наиболее существенно, что матрицы из одного класса эквивалентности обладают многими одинаковыми важными свойствами. Некоторые из них мы рассмотрим уже здесь, но более полное описание инвариантов подобия (например, канонической жордановой формы) будет дано позже, в гл. 3.
1.3.3. Теорема. Если матрица В ^ Мп подобна матрице Л е е Мп, то В имеет такой же характеристический многочлен, как и А.
Доказательство. Для любого t
Рв (0 — det (// — В) —
= det (iS~lS — S~l AS) = det S_1 (// — Л) 5 =
= det S~l det {tl — A) det S = (det S)-1 (det S) det {tl — A) = = det {tl — A) = pA (t). ?
1.3.4. Следствие. Любые подобные матрицы А и В (Л,
е М„) имеют одинаковые собственные значения с учетом кратности.
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 260 >> Следующая