Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 260 >> Следующая

Доказательство. Допустим от противного, что х(Л>
в действительности линейно зависимы. Тогда для них существует нетривиальная линейная комбинация, выражающая вектор 0, в частности такая, в которой наименьшее число ненулевых коэффициентов. Предположим,, что такое минимальное соотношение линейной зависимости имеет вид
+ а^хР* + . •. + ъгх{Г) = 0, r^k.
Здесь г > 1, так как х№ ф 0- для всех i. Для удобства мы взяли первые г векторов, чего всегда можно добиться перенумерацией. Тогда
. А (а,^^ 4"..... + агх<г)) == щАхМ + .., 4- агАх{г) ==
- = + ... + агЯ,гх<г> = 0
и это еще одно соотношение линейной зависимости. Теперь первое соотношение умножим на %г и вычтем его из второго. Получаем
«1 (Я, - 1Г) *<‘> + • • • 4- аг_! [кг-\ “ К) *(г-1) = 0
и это есть третье соотношение линейной зависимости, причем с меньшим числом ненулевых коэффициентов, чем в двух предыдущих. Последняя линейная комбинация нетривиальна, так как %1фХг (/ = 1, ..., г—1). Это противоречит предположению о минимальности первого соотношения линейной зависимости и завершает доказательство. О
1.3.9. Теорема. Если матрица А^Мп имеет п различных собственных значений, то она диагонализуема.
Доказательство. Пусть сг(Л) = {Ль Я„} и — собственный вектор, отвечающий fa (i = 1, ..., п). Поскольку собственные значения все различны,'то в силу леммы 1.3.8 множество {х(1), ..., л:(п>} линейно независимо и вследствие теоремы 1.3.7 матрица А диагонализуема. ?
Упражнение. Привести пример диагонализуемой матрицы А е Мп, такой, что не все ее собственные значения различны.
Упражнение. Напомним (см. разд. 0.9.5), что матрица перестановки Р в любой позиции содержит 0 или 1 и в любой строке и в любом столбце в точности один ее элемент равен 1; таким образом, РГ = Р-1. Показать, что если преобразование подобия матрицы А^.Мп осуществляется матрицей перестановки, то оно переупорядочивает диагональные элементы матрицы А. Показать, что от любой диагональной матрицы с помощью трансформирующей матрицы перестановки можно перейти к матрице, в которой те же диагональные элементы расположены в любом заданном порядке, в частности когда повторяющиеся диагональные элементы стоят подряд.
В общем случае матрицы А, В е М„ не коммутируют относительно умножения. Однако если А п В обе диагональные, то они всегда коммутируют. Это наблюдение можно в некотором смысле обобщить; в этом отношении полезна следующая лемма.
1.3.10. Лемма. Пусть заданы матрицы ЛеМт 6eAfm и матрица
°1
Lo bJ
есть прямая сумма матриц А и В. Тогда С диагонализуема в том и только в том случае, когда обе матрицы А и В диагона-лизуемы.
Доказательство. Пусть невырожденные матрицы S, е Мп и S2sAfm таковы, что матрицы и S^BSi диагональные.
Тогда несложно проверить, что матрица S~lCS будет диагональной, если в качестве 5 взять прямую сумму матриц Si и S2:
Наоборот, если С диагонализуема, то для некоторой невырожденной матрицы S ^ Мп+m матрица S~lCS = diag(Xi, Я2, ...
3 Р. Хорн, Ч. Джонсон
• Xn+m) диагональная.Запишем 5 в виде S=[si s2 «n+mj.
где
s, = Г l( 1 е=С’’+"\ I,еС", Г),ес" 1 = 1........п + т.
L *1* J .
Тогда Csi = fasi влечет за собой Л|* = и Вгц = для
всех i — 1, 2, ..., п-\-т. Если в множестве {?ь |л+т}
меньше п линейно независимых векторов, то столбцовый (а зна-
чит, и строчный) ранг матрицы
Kl I2 • • * 1л+иЛ ^ Мп, п+т
'меньше п. Аналогично если в множестве {rji, • • •, 11 п+т} меньше т линейно независимых векторов* то столбцовый (а значит, и строчный) ранг матрицы
l^ll "Пг • • • “Пи+ml ^ п+т
меньше т. Если реализуется одна или обе из рассмотренных возможностей, то для матрицы
о г 1 Г ^ * * * %>п+т "I
•S 1^1 «• • ®n+mJ I „ „ I €=E Mn+m
L «11 • • • Мп+т J
строчный ранг (а значит, и ранг) будет меньше п + т, что не-
возможно вследствие обратимости матрицы S. Таким образом, в множестве {&, ?2» ln+m} существует в точности п линейно независимых векторов, и поскольку каждый из них есть собственный вектор матрицы Л, то она должна быть диагонали-зуемой. По той же причине диагонализуема и матрица В. ?
1.3.1-1, Определение. Две диагонализуемые матрицы Л, Be ^ Мп называются одновременно диагонализуемыми, если существует трансформирующая матрица S е М„, для которой обе матрицы и S~lBS диагональны, или, другими словами,
если существует базис, в котором представления обоих соответствующих линейных преобразований имеют диагональный вид.
Упражнение. Доказать, что если Л, BeiWn одновременно диагонализуемы, то они коммутируют. Указание. Записать A = SDS~l и В = SES~lt где D и Е — диагональные матрицы. Затем вычислить АВ и ВА и воспользоваться тем, что диагональные матрицы Коммутируют. Этот прием используется довольно часто.
Упражнение. Доказать, что если Л е М„ диагонализуема и XI— произвольная скалярная матрица в М„, то Л и XI одновременно диагонализуемы.
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 260 >> Следующая