Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 260 >> Следующая

1 L В 0J’ 2 LB ВА J
подобны. Собственные значения матрицы Ci — это собственные значения матрицы АВ вместе с п нулями. Собственные значения матрицы С2 — это собственные значения матрицы В А вместе с т нулями. В силу следствия 1.3.4 Сх и С2 имеют одни и те же собственные значения с учетом кратностей — отсюда и вытекает основное утверждение теоремы. Ее заключительное утверждение следует из соотношения АВ = А(ВА)А~1, которое очевидным образом выполняется, если т = п и матрица А невырожденна. ?
Задачи
1. Доказать, что если Л, В^Мп и А и В коммутируют, то Л коммутирует с любым многочленом от В. :
2. Пусть Л, йеМЯ) а(А) = {А,„ ..., 1п}, ог(В) = {ць ..., рд}. Доказать, что если Л и В диагонализуемы и коммутируют, то
A -j- В имеет собственные значения
Xi + Яг + M/2i +
где *i, . *., in — некоторая перестановка индексов 1, я.
3. Доказать, что если А е А — S~[DS, ?> = diag(di,
...., dn) и /?(•) — произвольный многочлен, то р(А) = S~lp(D)S и p(D)= diag(p(dj), ..., p(dn)). Этим обеспечивается простой способ вычисления значения р(А) в случае, когда для А проведена днагонализация.
4. Привести пример двух коммутирующих матриц, которые не являются одновременно диагонализуемыми. Противоречит ли это теореме 1.3.12?
5. Доказать, что «ели матрица имеет различные соб*
ственные значения и коммутирует с заданной матрицей В е Мп, то В есть многочлен от А степени не выше п— 1. Указание. Показать (с помощью метода, примененного при доказательстве теоремы 1.3.12), что А и В одновременно диагонализуемы. Затем учесть, что для заданных различных чисел аь ..., ап и (произвольных) чисел ..., р„ существует многочлен р(-) степени не выше п — 1, такой, что p(at)=p,- (интерполяционный многочлен Лагранжа; см. разд. 0.9.11).
6. Для диагонализуемой матрицы А е Мп рассмотреть характеристический многочлен рл(0 и показать, что матрица рл(А) нулевая.
7. Матрица А е Мп называется квадратным корнем из матрицы В е Мп, если А2 = В. Доказать, что любая диагонализуе-мая, матрица имеет квадратный корень.
8. Пусть матрицы А, В еМ„ таковы, что хотя бы одна из них имеет различные собственные значения (и ничего — даже диагонализуемости — не предполагается в отношении другой матрицы). Доказать, что А и В коммутируют тогда и только тогда, когда они одновременно диагонализуемы. Подсказка. В одну сторону утверждение доказывается легко; чтобы доказать его в другую сторону, надо попытаться использовать следующие рассуждения в отличие от тех, что применялись в доказательстве теоремы 1.3.12. Предположим, что В имеет различные собственные значения, iea(B) и Вх = кх для х=Ф0. Тогда В(Ах) — А(Вх) = АХх = ХАх, и, значит, Ах есть также собственный вектор матрицы В, отвечающий К. Поскольку не может быть двух таких линейно независимых векторов (так как X имеет кратность 1), то Ах есть кратное вектора х, т. е. Ах = цх. Таким образом, любой собственный вектор для В является также собственным вектором для А, и А диагонализуема посредством той же самой матрицы из собственных векторов, которая диагонализует матрицу В. См. задачи 12 и 13 — в них осуществляется иной подход к тому же факту.
Ш1аНат7Ш
знание баз ераниц * **
9. Разобраться в деталях следующего (еще одного) дока* вательства теоремы 1.3.20.
(a) Сначала предположить, что из матриц А, В & Мп хотя
бы одна невырожденная. Показать, что АВ подобна ВА, и, следовательно, характеристические многочлены для АВ и ВА совпадают. Указание. Если А невырожденна,. то ВА == Л-1 (АВ) А, вследствие чего а(АВ)= о(ВЛ). "
(b) Рассмотреть вырожденные матрицы A = и В==
= [J J], Показать, что АВ и В А не подобны, но имеют одни и те
же собственные значения.
(c) Доказать, что если А, В е Мп, то АВ и В А обладают одинаковыми собственными значениями с учетом кратностей. Указание. Рассмотреть следующий аналитический подход. Для всех достаточно малых е >0 матрица Аъ = А -\-г1 невырожденна; поэтому матрицы АеВ и ВЛ8 подобны и их характеристические многочлены одинаковы. При е->0 в пределе подобие может не сохраниться, но равенство характеристических многочленов остается в силе, так как рлев (0 = det (tl — ЛеВ) зависит непрерывно от е. Таким образом, матрицы АВ и В А имеют одинаковые характеристические многочлены и, следовательно, одинаковые собственные значения с учетом* кратностей.
(d) Наконец, пусть ЛеМт,п и В еЛ4п,т. Показать, что 4В и ВА имеют одни и те же собственные значения с учетом кратностей, за исключением того, что . В А имеет дополнительно п — m собственных значений, равных нулю (в предположении, что /г>т); другими словами, pBA(t) = tn~mpAB(t). Указание. Дополнить Л нулевыми строками, а В -нулевыми столбцами с тем, чтобы в результате получились матрицы порядка п. К новым матрицам применить последний результат и сравнить два новых произведения, (при подходящем блочном разбиении) с двумя старыми произведениями.
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 260 >> Следующая