Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 260 >> Следующая

ТО. Используя лемму 1.3.8, доказать следующее обобщение. Пусть задана матрица Л е и Х|...........%k—ее различные соб-
ственные значения. Предположим, что для любого t = 1, 2, ... ..., k множество ^}, xW, хЩ линейно независимо и состоит из rii ^ 1 собственных векторов матрицы Л, отвечающих собственному значению Я*. Доказать, что объединение множеств
. {*<», 4",.... *<»}и ... и{<», 44 ..*<*>}
линейно независимо. Указание. Пусть какая-то линейная комбинация равна нулю, скажем
k ni k
Используя лемму 1.3.8, показать, что = 0 для всех и
11. Разобраться в деталях следующего (еще одного) дока-зательства леммы 1.3.17.
(a) Показать, что если А, В^Мп коммутируют, то у них есть общий собственный вектор. Указание. Взять собственный вектор х матрицы А (хфО и Ах='кх) и рассмотреть последовательность х, Вх, В2х, В3х, .... В ней должен быть первый элемент, линейно зависящий от своих предшественников,— пусть это Вкх. Тогда подпространство S = Span{x,Вх, В2х, ... ..., Вк~]х}' инвариантно относительно В и, следовательно, для некоторого ненулевого y^S имеем Ву = \лу. Однако АВ!х — = В'Ах = BfXx = AJB'x, так что каждый вектор из S является в то же время собственным вектором для А.
(b) С помощью индукции показать, что в конечном коммутативном семействе ЯГ = {АьА2> ..., Ат} все матрицы Л,- обладают общим собственным вектором. Указание. Пусть уФ 0 — общий собственный вектор для А\, Л2, ..., Am-i. Рассмотреть
последовательность Ату, А2ту, А3ту, ..., как и в п. (а).
(c) Установить, что в коммутативном семействе ЯГ а Мп бесконечной мощности не может быть больше чем п2 линейно независимых матриц. Выбрать максимальное линейно независимое множество и использовать п. (Ь). Доказать, что общий собственный вектор для этого конечного множества является общим собственным вектором для всего семейства
12. Пусть А = diag(A-i, А,2, ..., А,п) имеет « различных диагональных элементов. Использовать идеи из доказательства теоремы 1.3.12, для того чтобы доказать, что равенство АВ = ВА для некоторой матрицы В^Мп выполняется в том и только в том случае, когда матрица В сама диагональна (но не обязательно с различными диагональными элементами).
13. Предположим, что матрица ЛеМ„ имеет п различных собственных значений. Доказать, что если АВ = ВА для некоторой матрицы В^Мп, то В диагонализуема и при этом Л и В одновременно диагонализуемы. Указание. Показать, что если матрица А диагональна и Л=5А5-1, то А коммутирует с S~lBS. Использовать задачу 12.
14. Распространить результат задачи 13 на случай произвольного коммутативного семейства а Мп, содержащего хотя бы одну матрицу с различными собственными значениями. Сравнить этот результат с теоремой 1.3.19, в которой предполагается диагонализуемость каждой матрицы, входящей в семейство ST. Будет ли этот результат более сильным?
15. Рассмотреть блочно-диагональную матрицу А ==
= diag (А.,/,, Я2/2, ..., lkIk) (= Мп, где I, <= МПр U ф А,/ при / Ф },
Щ + п2~\- ••• +ftfe = rc. Показать, что равенство АВ = ВА для некоторой матрицы В е Мп выполняется в том и только
в том случае, когда В имеет блочно-диагональный вид В — *=diag(Bb В2у Bk), где В}^МП} (/=1, 2, k). Как этот
результат связан с задачей 12?
16. Предположим, что А, В е Мп и при этом А или В невырожденна. Показать, что если матрица АВ диагонализуема, то и матрица ВА диагонализуема. Рассмотреть матрицы
^“[оо] и ^ = [оо] и показать, что это, вообще говоря, неверно, если обе матрицы А и В вырожденны.
1.4. Собственные векторы
До сих пор собственным значениям уделялось больше внимания, чем собственным векторам. Однако собственные векторы также важны не только ввиду их роли, связанной с диагонализуемостью, но и вследствие того, что они оказываются полезными в различных прикладных вопросах. Здесь мы несколько продвинемся в изучении собственных векторов, но начнем с дополнительного замечания по поводу собственных значений.
1.4.1. Утверждение. Пусть АеМп. Тогда: (а) с учетом кратностей Ат имеет те же собственные значения, что и А; (Ь) с учетом кратностей А* имеет собственные значения, являющиеся комплексно-сопряженными к собственным значениям для А.
Доказательство. Поскольку det (// — Ат) = det (tl — А)т = «= det (// — А), имеем рАт (/)==* pA(t), т. е. предложение (а) уста-новлено. Аналогично det (tl Л*) = det (tl — А)* = det (tl — Л), вследствие чего pA*(t) = pA(t), что и доказывает предложение (Ь). ?
Упражнение. Показать, что если собственные векторы х, */ е Сп матрицы ЛеМл отвечают одному и тому же собственному значению X, то и любая линейная комбинация векторов х и у представляет собой собственный вектор, отвечающий тому же собственному значению X. Вывести отсюда, что множество всех собственных векторов, отвечающих одному Хео(А), вместе с вектором 0 образует подпространство в С”.
Упражнение. Показать, что подпространство, описанное в предыдущем упражнении, есть не что иное, как нуль-простраН-ство матрицы А — X/.
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 260 >> Следующая