Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 260 >> Следующая

1.4.2. Определение. Пусть заданы ЛеМ„ и Хео(Л). Множество всех векторов х е С”, удовлетворяющих соотношению Ах — Хя, называется собственным подпространством матрицы А, отвечающим собственному значению X. Заметим, что всякий ненулевой элемент из собственного подпространства является собственным вектором для Л, отвечающим X.
Упражнение. Доказать, что собственное подпространство матрицы А, отвечающее некоторому собственному значению X, является Л-инвариантным; обратное неверно. Доказать, что любое минимальное Л-инвариантное подпространство (не содержащее никакого нетривиального Л-инвариантного подпространства строго меньшей размерности) представляет собой линейную оболочку, натянутую на какой-то один из собственных векторов матрицы Л. Указание. Использовать идеи из доказательства леммы 1.3.17, считая, что ^"=={Л}.
Пусть найдено какое-то собственное значение матрицы Л е Мп. Тогда теоретически (хотя и не всегда практически) простой, способ вычисления соответствующего собственного вектора заключается в отыскании решения линейной системы
(Л —¦ XI) х = 0.
Множество всех ее решений составляет собственное подпространство.
1.4.3. Определение. Размерность собственного подпространства матрицы Л е Мп, отвечающего собственному значению X, называется геометрической кратностью собственного значения X. Кратность числа X как корня характеристического многочлена Ра{') (с этой кратностью мы постоянно имели дело до сих пор) называется алгебраической кратностью собственного значения X. Вообще говоря, это два разных понятия. Если термин кратность используется без какого-либо уточнения, то обычно имеется в виду алгебраическая кратность. Мы будем придерживаться этой договоренности.
Заметим, что геометрическая кратность есть не что иное, как максимальное число линейно независимых собственных векторов, отвечающих данному собственному значению.
Упражнение. Доказать, что геометрическая кратность собственного значения X для всех Л е М„ никогда не превышает (и может быть меньше) его алгебраической кратности. Если' алгебраическая кратность не меньше 1, то и геометрическая кратность не меньше 1. Указание. Обозначим через k геометрическую кратность собственного значения X и возьмем какую-либо невырожденную матрицу S е Мп, в которой первые k столбцов составляют линейно независимые собственные векторы матрицы Л, отвечающие X. С помощью рассуждений наподобие тех, что были использованы в доказательстве теоремы
1.3.7, показать, что матрица 5_1Л5 имеет вид [у | * ], где /eMji. Вывести отсюда, что алгебраическая кратность X не меньше k. ,
*
1.4.4. Определения. Матрица AeAf„, для которой геометрическая кратность каких-то собственных значений строго мень*' Ше их алгебраической кратности, называется дефектной. Если для каждого собственного значения геометрическая кратность совпадает с алебраической кратностью, то А называется недефектной. Если всякое собственное значение матрицы А е Мп имеет геометрическую кратность 1 (независимо от алгебраической кратности), то А называется простой. Все эти определения являются классическими, но в настоящее время используются не очень широко.
Заметим, что простая недефектная матрица — это матрица с различными собственными значениями. .Далее, матрица диагонализуема тогда и только тогда, когда она является недефектной. Это есть не что иное, как еще одна формулировка леммы 1.3.7, подчеркивающая необходимость существования для каждого собственного значений достаточного числа линейно независимых отвечающих ему собственных векторов.
1.4.5. Прцмер. Несмотря на то что А и Ат имеют одни и те же собственные значения, их собственные векторы* отвечающие данному собственному значению, могут сильно различаться. Например, для матрицы
имеется одномерное собственное подпространство, отвечающее собственному значению 2, и оно натянуто на вектор [J], В то же время соответствующее собственное подпространство матрицы Ат натянуто на вектор [ _\j2 ].
Упражнение* Проверить утверждения примера 1.4.5.
Ясно, что теорию собственных значений и собственных векторов, которую мы развивали до-сих пор, можно было бы развивать параллельно для умножения матриц слева на векторы-строки. Собственные значения при этом были бы те же самые, а собственные векторы, вообще говоря, другие (даже если строки рассматривать как столбцы и наоборот).
1.4.6. Определение. Ненулевой вектор |/еС" называется левым собственным вектором матрицы А еМп, отвечающим Jie ео(Л), если
у* А = Ху*.
При необходимости вектор х из соотношения (1.1.3) мы будем для ясности называть также правым собственным вектором.
Если контекст не допускает неоднозначного толкования, то мы будем, как и ранее, говорить об х как о собственном векторе«
Упражнение. Показать, что любой левый собственный век* тор у, отвечающий собственному значению X матрицы А е М„, является правым собственным вектором матрицы А*, отвечаю*
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 260 >> Следующая