Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 260 >> Следующая

щим X, и при этом у есть правый собственный вектор матрицы Ат, отвечающий X. Показать на примере, что даже в случае AeM„(R) правый и левый собственные векторы могут не совпадать.
Напомним (см. разд. 0.6.2), что два вектора х, */е Ся называются ортогональными, если у*х — 0. Следующий результат известен как принцип биортогональности.
1.4.7. Теорема. Для матрицы А е Мп и чисел X, цеа(Л), где X Ф [а, любой левый собственный вектор, отвечающий ц, ортогонален любому правому собственному вектору, отвечающему X.
Доказательство. Пусть г/еС" — левый собственный вектор матрицы А, отвечающий ц, и хеС" — ее правый собственный вектор, отвечающий X. Вычислим у*Ах двумя способами;
у* Ах = у* (X*) — X (у*х),
У* Ах = (цу*) х = ц (у*х).
Поскольку X ф р, то получить равенство ку*х = цу*х возможно, лишь когда у*х = 0. Таким образом, векторы х и у ортогональны. ?
/
Упражнение. Показать, что если Л* = ЛеМя, т. е. матрица А эрмитова, и все ее собственные значения различны, то Л имеет п попарно ортогональных (правых) собственных векторов. Напомним, что, согласно задаче 8 из § 1.1, все собственные значения матрицы Л вещественны. Указание. Вследствие того что А* = А, левые собственные векторы совпадают с правыми собственными векторами. Применить теорему 1.4.7.
В следующей главе мы увидим, что в утверждении из этого упражнения предположение о том, что собственные значения различны, не является необходимым.
Теперь отметим, что есть простой закон преобразования собственных векторов при переходе к подобной матрице. Собственные значения, конечно, при этом не изменяются.
1.4.8. Теорема, Пусть матрицы Л, В е Мп таковы, чгто В подобна А и преобразование подобия осуществляется матрицей
79
S. Тогда если jteC" — собственный вектор для В, отвечающий Ji eo(6), то Sx — собственный вектор для А, отвечающий собственному значению %.
Доказательство. Вследствие равенств В — S-1v4S и Вх — Хх имеем S~lASx = Кх, или ASx = XSx. Поскольку матрица 5 невырожденна и л: =т^= 0, получаем Sx ФО и, следовательно, есть собственный вектор матрицы Л. ?
Упражнение. Проверить, что е = [1,1,1]т есть собственный вектор матрицы
Пусть D = diag (1, 2, 3). Для матрицы D~lAD найти собственный вектор, имеющий положительные компоненты.
В заключительной части этого параграфа мы покажем, что собственные векторы можно использовать для получения информации о собственных значениях главных подматриц. Эта информация позволяет дать еще одно доказательство неравенства между геометрической и алгебраической кратностями собственного значения.
1.4.9. Теорема. Пусть заданы матрица ЛеМл, ее собственное значение IgCu произвольное целое положительное k^A. Рассмотрим следующие три высказывания:
(a) i — собственное значение матрицы А геометрической кратности не меньше k\
(b) Я является собственным значением любой главной под-матрицы A eiMffl матрицы А, если m~>n — k\
(c) X—собственное значение матрицы А алгебраической кратности не меньше k.
Тогда (а) влечет за собой (Ь) и (Ь) влечет за собой (с). В частности, алгебраическая кратность собственного значения не меньше его геометрической кратностш
Доказательство. Предположим, что (а) имеет место и рассмотрим в Л произвольную главную подматрицу ЛеЛ1т, считая, что m> п — k. Не ограничивая общности, будем считать, что А находится в левом верхнем углу матрицы А (с помощью перестановок можно перейти к подобной матрице и воспользоваться теоремой 1.4.8). Пусть собственному значению К отвечают линейно независимые собственные векторы¦ v\, ..., Vk. Матрицу Л и каждый из векторов Vi представим в блочном
Векторы wi, ..., wk линейно зависимы, так как это k векторов виде:
в пространстве размерности п — т <С п — (п — k) — ~k. Значит, существуют скаляры аь ..., ak е С, такие, что a\W\ -f- ... ... -f- (XkWk = 0, и при этом не все эти скаляры нулевые. Получаем ... + akvk “[о ] ^ ГДе и — «1М1 + •
... -f- a.kUk Ф 0 и Av = %v. Последнее равенство запишем в блочной форме:-
*-[* :и:н?Ь-т-
Как видим, Я есть собственное значение для А, что и утверждается в п. <Ь).
Теперь допустим, что (Ь) имеет место. Вспомним соотношение (1.2.13), связывающее производную характеристического многочлена рл(0 с характеристическими многочленами pAi (t) для п главных подматриц Аи ..., Ап матрицы А. При k — 1 доказывать нечего. Если k > 1, то (Ь) утверждает, что Я является собственным значением для Ai при всех i и потому р^(Я) = 0 для всех i и р'А(Х) = 0. Если k>2, то, дифференцируя (1.2.13), находим
р"д«)~?р'аЛ1). (1.4.10)
k i = l *
Используя (1.2.13), заменим каждую производную в правой части на сумму характеристических многочленов главных подматриц матриц А[. Поскольку любая главная подматрица в Ait полученная вычеркиванием одной строки и одного Столбца, является также главной подматрицей порядка п — 2 в А, то предложение (Ь) и соотношение (1.2.13), применяемые ко всем подматрицам Л/, позволяют заключить, что р"(Я) = 0. Повторное использование тех же доводов показывает, что кратные производные p{? (Я) обращаются в нуль для /=== 0, 1, ..., k — 1, Следовательно, для Я алгебраическая кратность не меньше k. ?
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 260 >> Следующая