Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Матричный анализ - Хорн Р.

Хорн Р. Матричный анализ — М.: Мир, 1989. — 655 c.
ISBN 5-03-001042-4
Скачать (прямая ссылка): matrichniyanaliz1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 260 >> Следующая

— e~iQav ~(e~2iQa) (eiQv) и вектор eiev будет единичным вектором, если v —^ единичный вектор. Можно выбрать 0 так, чтобы е~2Ша ^ 0; тогда последнее равенство позволяет прийти к следующему заключению. Если задана матрица ЛеМ„ и X — неотрицательное собственное значение матрицы АА, то существует такой единичный вектор v, что Av — ov, где а == + лД ^ 0.
Теперь дополним этот вектор v до ортонормированного базиса {v, v2, ..., vn} пространства С" и обозначим через V\ унитарную матрицу, столбцы которой совпадают с векторами этого
—-j! ¦¦
базиса. Элементы первого столбца матрицы V\AV\ равны viAv = gviv— obir в силу ортонормированности базиса и соотношения Аи = аи. Таким образом, все элементы в первом столбце матрицы VT\AVu кроме первого, должны обращаться в нуль (первый элемент также может быть нулевым). Если записать эту матрицу в следующем блочном виде:
_т _ Г сг wT 1 .
У1 AV 1 = q ^ J, шеС" , ЛзеМ,,.!, о>0, (4.4.3а)
*) См. задачу 9 в конце данного параграфа. — Прим. перев.
ТО
(V*AVi) (У?AVi) «= V',AAV, = [ ”
с2 owT + wTA2 D . A2A2
Таким образом, множество всех собственных значений (неотрицательных по предположению) матрицы АА составлено из числа о2 и множества собственных значений матрицы А2А2. Отсюда заключаем, что матрица Л2 е Мп-ь полученная в этом процессе редукции, также обладает тем свойством, что все собственные значения произведения А2А2 неотрицательны.
Процесс редукции теперь может быть продолжен с матрицей Л2 и ее преемниками, самое большее, п—1 раз (как в доказательстве теоремы Шура 2.3.1 об унитарной триангуляри-зации), и в результате получится равенство
где А — верхняя треугольная матрица с неотрицательными элементами а* на главной диагонали. Полагая U—V1V2 ... Vn-1, получаем требуемое представление А = UAUT. ?
Упражнение. Провести явно выкладки доказательства теоремы 4.4.3 для матрицы Л = [_] j] и убедиться, что A — UbJUT, где
При «^2 не каждая матрица А е Мп обладает тем свойством, что все собственные значения произведения АА неотрицательны, простой пример тому—матрица Л = [_°^]. Таким
образом, теорема 4.4.3 является только частичным аналогом теоремы Шура 2.3.1 об унитарной триангуляризации. Каждая матрица А е Мп может быть приведена к треугольному виду преобразованием A-+-UAU* с унитарной матрицей U е Мп, но только матрицы А е М„, у которых собственные значения произведения АА неотрицательны, могут быть триангуляризованы преобразованием вида A-*UAUT с унитарной матрицей U^Mn.
Для каждой симметричной матрицы А е Мп, однако, все собственные значения матрицы АА = АА* будут неотрицательны. Утверждение, в которое переходит теорема 4.4.3 в этом частном случае, обычно приписывают Шуру (1945 г.), но еще
О
ранее его доказали Хуа (1944 г.), Зигель (1943 г.) и Якобсен (1939 г.) Исторический приоритет следует, по-видимому, отдать Лакаги (1925 г.).
4.4.4. Следствие (разложение Такаги). Если матрица А^Мп симметрична (А—Ат), то существуют унитарная матрица U еМ„ и неотрицательная диагональная матрица 2 = = diag(ai, ..., оп), такие, что А = UI,UT. Столбцы матрицы U образуют множество ортонормированных собственных векторов матрицы АА, и соответствующие диагональные элементы матрицы 2 являются неотрицательными квадратными корнями из собственных значений матрицы АА, отвечающих этим собственным векторам.
Доказательство. Если А — Ат, то А = А* и АА — АА*. Пусть х Ф 0 — произвольный собственный вектор эрмитовой матрицы АА*, т. е. АА*х = Хх. Тогда х*Хх — А (х х) = х*АА*х = = {А*х)*{А*х). Поскольку у*у^0 для всех векторов г/еС" и у*у — 0 тогда и только тогда, когда у = 0, то Я = (А*х)* [А*х)/х*х ^ Таким образом, все собственные значения матрицы А А неотрицательны, какова бы ни была симметричная матрица А. В силу предыдущей теоремы существуют унитарная матрица U е Мп и верхняя треугольная матрица А е Мп вида
0\ *
Д =
-0 С„ J
'п
где все элементы а ^ 0, такие, что справедливо разложение А = UAUT. Но тогда UAUT — А — Ат — UATUT. Следовательно, выполняется равенство А = Дг, которое может иметь место только для диагональной матрицы Д, и эта диагональная матрица неотрицательна по построению. Наконец, разложение A A— UJHJTUZU* = UlPU* осуществляет унитарную диагонали* зацию эрмитовой матрицы А А; тогда столбцы матрицы U совпадают с собственными векторами произведения АА. ?
Любая матрица вида UAU7 с диагональной (не обязательно неотрицательной) матрицей А, очевидно, симметрична; таким образом, необходимым и достаточным условием того, чтобы данная_матрица /1еМл допускала разложение А — UAUT = = UAU* == UAU~l с унитарной матрицей U и диагональной матрицей А, является ее симметричность. В теореме 4.6.11 приводятся условия, при которых матрица А записывается в виде произведения А = SAS~X с диагональной матрицей А и невырожденной (но необязательно унитарной) матрицей 5.
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 260 >> Следующая