Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Алгебра - Ленг С.

Ленг С. Алгебра — Москва , 1968. — 572 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1968.djvu
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 205 >> Следующая

Доказательство. В случае когда Kjk — конечное алгебраическое расширение, утверждение уже было доказано в элементарной теории конечных алгебраических расширений (гл. VII, § 7, следствие 4). Пусть К трансцендентно над k и tv ..., tr — базис трансцендентности. Тогда К есть конечное алгебраическое, но не сепарабельное расширение поля k{t[........tf\ а потому К ф Кр 'k X
X(/f......tf)^Kpmk. Это доказывает наше предложение.
§ 7. Дифференцирования
Дифференцированием D кольца R называется отображение D: R~*R кольца R в себя, линейное и удовлетворяющее обычным правилам для производных, т. е. D (х -f- у) — Dx Dy и D(xy) —
— xDy-\- yDx. В качестве примера рассмотрим колыю многочленов k [X] над полем k. Для каждой переменной Xt взятие обычной частной производной djdXt является дифференцированием в k[X\. Мы можем также очевидным образом получить дифференцирование в поле частных, а именно положив
D (ujv) = (v Du — и Dv)jv2.
302
ГЛ. X. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
Мы будем работать с дифференцированиями поля К. Дифференцирование в К называется тривиальным, если Z)x = 0 для всех х ? К. Оно называется тривиальным на подполе kb К, если Dx — 0 для всех х ? k. В этом случае говорят также, что D есть дифференцирование поля К над k. На простом поле дифференцирование всегда тривиально: имеем
D(1) = D(1 • 1) = 2D(1), откуда D(1) = 0.
Рассмотрим теперь задачу о продолжении дифференцирований. Пусть L = К (х) = К (хх....хп) — конечно порожденное расшире-
ние. Для f?K[X] обозначаем через dfjdxt многочлены df/dXj, вычисленные в (х). Когда существует дифференцирование D* на L, совпадающее с заданным дифференцированием D на К? Если / (X) ? ^ ЛГ [А'] — многочлен, обращающийся в нуль на множестве (х), то любое такое дифференцирование D* должно удовлетворять соотношению
0 = D*f (х) = р (х) 4 2 (df/dxi) D*x,, (1)
где /° обозначает многочлен, получаемый применением D ко всем коэффициентам /. Отметим, что если соотношение (1) выполняется для всякого обращающегося в нуль на (х) элемента из конечного множества образующих идеала в К \Х\, то (1) выполняется для всякого многочлена из этого идеала. Это непосредственное следствие из правил дифференцирования. Упомянутый идеал будет иногда называться идеалом в К [ А'], определенным множеством (х).
Предыдущее необходимое условие для существования D* оказывается также и достаточным.
Теорема 7. Пусть D—дифференцирование поля К, (х)—произвольное множество величин и {fa(X)} — множество образующих для идеала в К[X], определенного множеством (х). Если тогда (и) — любое множество элементов из К (х), удовлетворяющих уравнениям
о = /а W -+- 2 (dfJdXj) ut,
то существует одно и только одно дифференцирование D* поля К (х), совпадающее с D на К и такое, что D*xt — ut для всякого i.
Доказательство. Необходимость была показана выше. Обратно, если g (х), h(x) лежат в К [х] и 1г(х)Ф 0, то непосредственно проверяется, что отображение D*, определенное формулами
o'g (*) = t° W + 2 «/•
Dugm- .
правильно определено и является дифференцированием поля К (х).
§ 7 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
303,
Рассмотрим частный случай, когда (х) состоит из одного элемента х. Пусть D — заданное дифференцирование на К.
Случай 1. Элемент х— сепарабельный алгебраический над К. Пусть f(X) — неприводимый многочлен, которому удовлетворяет х над К¦ Тогда /' (х) Ф 0. Имеем
0 = /°(х) + /' (х)и,
откуда и = —/°(х)//'(х). Следовательно, D продолжается на К (х) однозначно Если D тривиально на К, то D тривиально и на К (х).
Случай 2. Элемент х трансцендентен над К. Тогда D продолжается, причем элемент и может быть выбран в К (х) произвольным образом.
Случай 3. Элемент х чисто несепарабелен над К, так что хрШ — а = 0, где а?К. Тогда D продолжается на К (х) в том и только в том случае, если D(a)~— 0. В частности, если D тривиально на К, то элемент и может быть выбран произвольным образом
Предложение 7. Конечно порожденное расширение К(х) над К тогда и только тогда является сепарабельным алгебраическим, когда всякое дифференцирование D поля К (х), тривиальное на К, тривиально и на К (х).
Доказательство. Если К (х) — сепарабельное алгебраическое расширение поля К, то это случай 1. Наоборот, если оно не является сепарабельным алгебраическим, то мы можем соорудить башню расширений между К и К (х), каждый этаж которой относится к одному из трех рассмотренных выше случаев. По крайней мере один этаж будет относиться к случаю 2 или 3. Рассмотрев самый верхний Э1аж этого типа, мы тотчас увидим, как построить дифференцирование, тривиальное на основании и нетривиальное на вершине башни.
Предложение 8. Пусть даны поле К и элементы (х) = = (Xj.....хп) из некоторого его расширения, причем существуют п многочленов таких, что
1) /Дх) = 0 и
2) det (dfJdXj) ф 0.
Тогда К (х) — сепарабельное алгебраическое над К-
Доказательство. Пусть D — дифференцирование на К (х), тривиальное на К. Поскольку /, (х) = 0, мы должны иметь D/, (х) = 0, откуда вытекает, что Dxt удовлетворяют п линейным уравнениям, матрица из коэффициентов которых имеет ненулевой определитель. Следовательно, Dxt = 0, так что D тривиально на К (х). Поэтому К (х) — сепарабельное алгебраическое над К.
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 205 >> Следующая