Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Алгебра - Ленг С.

Ленг С. Алгебра — Москва , 1968. — 572 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1968.djvu
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 205 >> Следующая

5. Пусть а ^ t р — вещественный интервал и / (t) — вещественный многочлен, положительный на этом интервале. Показать, что / (t) может быть записан в виде
где Q2 обозначает квадрат. [Указание: разложить многочлен и использовать тождество
е-,)(Р-о- >f_(P-о+ <;-«)№-'>’ .
6. Показать, что поле вещественных чисел имеет только тождественный автоморфизм. [Указание: показать, что автоморфизм сохраняет упорядочение.]
') Добавлено при переводе. Место этого упражнения было занято утверждением, совпадающим с леммой из § 2 и не исключенным лишь по недосмотру. — /7рим. ред.
Глава XII
Абсолютные значения
§ 1. Определения, зависимость и независимость
Пусть К — поле. Абсолютное значение v на К — это вещественнозначная функция XI—>|х|„ на К, удовлетворяющая следующим трем условиям:
АЗ 1. \x\v^-0 для всех х?К, и | лг == 0 тогда и только тогда, когда х = 0.
АЗ 2. | ху \v = | x\v | у |„ для всех х, у?К.
АЗ 3. |х--(-у|г;<|х|г,4-|у|г, для всех х, у?К.
Если вместо АЗ 3 абсолютное значение удовлетворяет более сильному условию
АЗ 4. |х4-у|г,<шах(|х|„, \y\v),
то мы будем говорить, что оно является нормированием или что оно неархимедово. Абсолютное значение, для которого 1x^=1 при всех х=/=0, называется тривиальным.
Имея дело с одним фиксированным абсолютным значением, мы будем писать | х | вместо | х \v и говорить о | | как об абсолютном значении.
Абсолютное значение на К определяет метрику. Расстояние между двумя элементами х, у из К в этой метрике равно |х — у|. Таким образом, абсолютное значение определяет топологию на К. Два абсолютных значения называются зависимыми, если они определяют одну и ту же топологию. В противном случае они называются независимыми.
Отметим, что | 1 | = | 1 |2 = | (—I)2 j = | 1 |2, откуда
|1| = |-1|=1.
Кроме того, | — х | = | х | для всех х^К и | х-11 = | х |-1 для х^О.
Предложение 1. Пусть \ |: и \ |2—нетривиальные абсолютные значения на поле К. Тогда для их зависимости необходимо и достаточно, чтобы из соотношения
Mi < 1
следовало |х|2<1. Если они зависимы, то существует число Я > 0, такое, что \х\1 — \х'^ для всех х?К.
$ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ
323
Доказательство. Если два абсолютных значения зависимы, то наше условие выполняется, поскольку множество тех х?К, для которых |x|j<1, совпадает с множеством тех х, для которых Птхл = 0 при ге—»¦ со. Обратно, предположим, что условие теоремы выполняется. Тогда из | х ^ > 1 следует |х|2>1, поскольку | x_1 |j < 1. По предположению существует элемент х0?К, для которого I х0!j > 1. Пусть а = | х0 |j и b — j х0 [2. Положим
X =
log а
Пусть х?К, хфО. Тогда | х = | х01“ для некоторого числа а. Если т, п — такие целые числа, что т\п > а, причем п > О, то
I l^-l \Щ!п
I X |, < | Х01, ,
откуда
КК li<1
и, значит,
|х"/х-|1<1.
Отсюда вытекает, что | х |2 < | х0". Следовательно,
I х l2 I хо 1г ¦
Аналогично доказывается обратное неравенство и, таким образом, получаем
I х I2 = I хо к
для всех х?/С, х=?0. Утверждение, что | х |2 = | х |j, теперь очевидно.
Дадим несколько примеров абсолютных значений.
Рассмотрим сначала поле рациональных чисел. Имеем прежде всего обычное абсолютное значение, а именно \т\ = т для любого положительного целого числа т.
Для всякого простого числа р имеем р-адическое абсолютное значение vp, определяемое формулой
\ргт/п \р= \/рг,
где г — целое число, а т, п — целые числа фО, не делящиеся на р. Непосредственно видно, что /ьадическое абсолютное значение неархимедово.
Аналогичное определение нормирования можно дать для любого поля К, являющегося полем частных кольца главных идеалов. Пусть, например, K = k(t), где k—некоторое поле и t—переменная над k. Для всякого неприводимого многочлена р (t) из k [t\ имеем нормирование vp, определяемое так же, как в поле рациональных чисел, но
324
ГЛ. XII. АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
с тем отличием, что здесь нет естественного способа его нормализовать. Поэтому выбираем число с, такое, что 0 < с < 1, и для любой рациональной функции prfjg, где /, g — многочлены, не делящиеся на р, полагаем
I PTfig Iр = сг.
Разные значения постоянной с приводят к зависимым нормированиям.
Всякое подполе поля комплексных чисел (или вещественных чисел) обладает абсолютным значением, индуцированным обычным абсолютным значением в поле комплексных чисел. Позднее мы увидим, как можно получать абсолютные значения на некоторых полях, вкладывая их в другие поля, которые уже снабжены естественными абсолютными значениями.
Предположим, что определенное на некотором поле абсолютное значение ограничено на простом кольце (т. е. кольце целых чисел Z, если характеристика равна 0, и кольце целых чисел mod;?, если характеристика равна р). Тогда это абсолютное значение непременно неархимедово.
Доказательство. Для любых элементов х, у и любого положительного целого числа п имеем
I (х ~Ь у)" I <^ |( v)xV~V| < (я+ 1) С (max (| х\, |у |))л.
Извлекая из обеих частей корпи п-й степени и устремляя п к бесконечности, получаем доказательство нашего утверждения. Отметим, что предпосылка утверждения всбгда выполнена в случае характеристики > 0, поскольку в этом случае простое кольцо конечно!
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 205 >> Следующая