Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Алгебра - Ленг С.

Ленг С. Алгебра — Москва , 1968. — 572 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1968.djvu
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 205 >> Следующая

Мы отсылаем читателя к любой другой книге, где рассматриваются абсолютные значения, за доказательством того факта, что всякое архимедово абсолютное значение на поле рациональных чисел зависит от обычного абсолютного значения. Этот факт по существу бесполезен (и нигде не используется в дальнейшем), так как мы всегда исходим из конкретно заданного множества абсолютных значений на интересующем нас поле.
В предложении 1 мы получили сильное условие, которому должны удовлетворять зависимые абсолютные значения. Теперь мы получим условие, которому удовлетворяют независимые абсолютные значения.
Аппроксимационная теорема (Артин—Уэплз). Пусть
К—поле и | |j........ | |5—нетривиальные попарно независимые
абсолютные’ значения на К. Пусть хг.......xs — элементы из К
и е > 0. Тогда существует элемент х?К, такой, что
для всех i.
\х—х, |, < е
§ 2. ПОПОЛНЕНИЯ
325
Доказательство. Рассмотрим сначала два из наших абсолютных значений, скажем v1 и vs. По условию мы можем найти элемент а?К, такой, что | а |, < 1 и |а|5^>1. Аналогично мы можем найти элемент |5 ? К, такой, что и | Р |j< 1 ¦ Положим у=р/а.
Тогда |у Ii > 1 и I Н < 1 •
Теперь докажем, что существует элемент zfK, такой, что | z l! > 1 и | z \j < 1 для j = 2, . . ., s. Доказываем это по индукции. Случай s = 2 был только что рассмотрен. Предположим, что мы нашли элемент z ?К, удовлетворяющий условиям
| z |j > 1 и | z \j < 1 для j — 2....s — 1.
Если |z|5-^l, то элемент zny для достаточно большого п будет удовлетворять нашим требованиям.
Если |г|4> 1, то последовательность
п 1-f гп
стремится к 1 относительно и vs и стремится к 0 относительно Vj {j — 2, ..., s—1). Ясно, что при достаточно большом п элемент tny удовлетворяет нашим требованиям.
Используя только что построенный элемент z, мы видим, что последовательность znj(\ -\-zn) стремится к 1 относительно и к О
относительно Vj для j — 2........s. Поэтому для всякого i мы можем
построить элемент zt, который очень близок к 1 относительно ¦Vi и очень близок к 0 относительно Vj (j=hi)- Тогда элемент
x = z1x1-f- ... -f - zsxs удовлетворяет требованиям теоремы.
§ 2. Пополнения
Пусть К—поле с нетривиальным абсолютным значением v, которое во всем этом параграфе будет оставаться фиксированным. Обычным способом можно определить понятие последовательности Коши. Это такая последовательность {хп} элементов из К, что для заданного е > 0 существует целое число N, такое, что для всех п, /к > N имеем
I — *т I < е.
Мы будем говорить, что поле К полное, если всякая последовательность Коши сходится.
Предложение 2. Существует пара (Kv, /), состоящая из поля Kv, полного относительно некоторого абсолютного значенияt
326
ГЛ. XII. АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
и вложения I: К —> Kv, такого, что абсолютное значение на К индуцируется абсолютным значением на Kv (т. е. \x\v = \ix\ для х?К). При этом iK плотно в Ку. Если (K'v, г')—другая такая пара, то существует однозначно определенный изоморфизм ср: Kv—>K'v, сохраняющий абсолютные значения, для которого коммутативна следующая диаграмма:
К ----^К'
V V
ч /
,ЧЛГ/1'
Доказательство. Единственность очевидна. Существование доказывается хорошо известным способом, который мы сейчас кратко напомним, предоставив детали читателю.
Последовательности Коши образуют кольцо, сложение и умножение в котором производятся покомпонентно.
Определяется нуль-последовательность как последовательность \хп\, для которой lim хя=0. Нуль-последовательности образуют идеал
Л-» СО
в кольце последовательностей Коши, который на самом деле является максимальным идеалом. (Если последовательность Коши не является нуль-последовательностью, то для всех достаточно больших п ее члены отличны от 0 и для почти всех ее членов можно взять обратные элементы. С точностью до конечного числа членов снова получаем последовательность Коши.)
Поле классов вычетов кольца последовательностей Коши по модулю нуль-последовательностей и есть поле Kv. Мы вкладываем К в Kv „по диагонали", т. е. сопоставляем элементу х?К последовательность (х, х, х, . . .).
Абсолютное значение на К продолжаем на Kv по непрерывности. Если {хп}—последовательность Коши, представляющая элемент | из Kv, то полагаем 111 = lim | |. Легко доказывается, что так опре-
деленное абсолютное значение не зависит от выбора представляющей последовательности {хп} для Е, и индуцирует заданное абсолютное значение на К-
Наконец, доказывается, что поле Kv — полное. Это делается обычным диагональным процессом. Если |2, ...—последовательность Коши в Kv и представляется последовательностью Коши {Xj„} из К, то без всякого труда доказывается, что
¦*•11’ %22’ Х33’ • ¦ •
будет последовательностью Коши в К, представляющей элемент ? из Kv, для которого
lim lj = l.
у-> ОО
§ 2. ПОПОЛНЕНИЯ
327
Пара (Kv, i), фигурирующая в предложении 2, может быть названа некоторым пополнением К¦ Стандартная пара, полученная с помощью предыдущей конструкции, могла бы быть названа (просто) пополнением К.
Пусть поле К снабжено некоторым нетривиальным архимедовым абсолютным значением v. Если известно, что ограничение v на подполе рациональных чисел зависимо от обычного абсолютного значения, то пополнение Kv является полным полем, содержащим пополнение поля Q в качестве замкнутого подполя, т. е. содержащим в качестве замкнутого подполя поле R вещественных чисел. Стоит привести теорему Гельфанда — Мазура, касающуюся структуры таких полей. Но сначала введем понятие нормированного векторного пространства.
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 205 >> Следующая