Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Алгебра - Ленг С.

Ленг С. Алгебра — Москва , 1968. — 572 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1968.djvu
Предыдущая << 1 .. 115 116 117 118 119 120 < 121 > 122 123 124 125 126 127 .. 205 >> Следующая

Пусть К — поле с нетривиальным абсолютным значением и Е— векторное пространство над К. Под нормой на Е (согласованной с абсолютным значением на К) мы будем понимать функцию 11—> 111, отображающую Е в поле вещественных чисел, такую, что
Н0 1. |?|>0 для всех !??, и ||| = 0 тогда и только тогда, когда | = 0.
НО 2. | х% |<.' I л: 11| | для всех х ? К и | ? Е.
НО 3. Если |, 1'?Е, то | + | < | % | + | ?' |. Две нормы | |t
и | |2 называются эквивалентными, если существуют числа С1,
С2 > 0, такие, что для всех | ?Е имеют место неравенства
11 li 111г ^ ^21 ? li-
Предположим, что пространство Е конечномерно с базисом ©j.....шя над К. Имея выражения
| = x1w1-j- ... -\-хпып,
элементов через этот базис, мы можем определить норму, по-
ложив
11 | = шах| хг |.
/
Три свойства, определяющих норму, тривиально проверяются.
Предложение 3. Пусть К — поле, полное относительно некоторого нетривиального абсолютного значения, Е — конечномерное пространство над К. Любые две нормы на Е (согласованные с заданным абсолютным значением на К) эквивалентны.
Доказательство. Докажем сначала, что топология на Е
является топологией прямого произведения, т. е. что если сох..(йя —
базис Е над К. то последовательность
|<v> = хм 6 К,
328
ГЛ. XII. АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
является последовательностью Коши в ? в точности тогда, когда каждая из я последовательностей является последовательностью Коши в К. Доказывать будем индукцией по п. Утверждение очевидно для и=1. Предположим, что я >2. Рассмотрим указанную выше последовательность. Не теряя общности, мы можем считать, что она сходится к 0. (Если необходимо, рассмотрим последовательность ?(v) — при v, [х—>оо.) Мы должны показать, что последовательности коэффициентов также сходятся к 0. Если это не имеет места, то существует число а > 0, такое, что при некотором j, скажем j — 1,
| х?'11 > а
для сколь угодно больших V. Таким образом, для некоторой подпоследовательности значений v последовательность ^Jx^) сходится к 0 и, следовательно,
t(v) „(V) (V)
6 л2 , I Л
^г-®1--^г®2+ ••• +-^r*V
Пусть обозначает правую часть этого равенства. Тогда подпоследовательность T]<v> сходится (поскольку сходится левая часть равенства). По индукции заключаем, что коэффициенты при со2, ..., соге также сходятся в К, скажем, к у2........... у„. Беря предел, полу-
чаем, что
— ®i = Уг®2 Упап
вопреки линейной независимости сог.
В заключение мы должны убедиться, что нормы, индуцирующие одинаковую топологию, эквивалентны. Пусть этими нормами будут | |j и | |2. Существует число С > 0, такое, что для любого f ? Е
11 |х < С влечет \1|2 < 1.
Возьмем элемент а?К с условием 0 < | о j < 1. Для всякого ???? существует однозначно определенное целое число s, такое, что
С\а\<\а% | !<С.
Значит, |а^|2<^1, откуда тотчас получаем
Второе неравенство следует из симметрии с аналогичной константой
Теорема 1. Пусть А — коммутативная алгебра над полем вещественных чисел, содержащая некоторый элемент j, такой, что j2 — ~ 1. Положим C = R4-Ry. Допустим, что А нормирована (как векторное пространство над R) и что | ху | ^ | х 11 у [
§ 2 ПОПОЛНЕНИЯ
329
для всех х, у ? А. Тогда для заданного элемента х0? А, х0ф О, найдется элемент с ? С, такой, что х0 — с необратим в А.
Доказательство (Торнхейм). Предположим, что элемент х0—^ обратим для всех z? С, Рассмотрим отображение /: С—> А, определяемое формулой
f(z) = (x 0— z)~\
Легко проверяется (как обычно), что взятие обратных является непрерывной операцией. Следовательно, / непрерывно и для z Ф О имеем
f(z) = z-'(x0z-' — l)~l= 1 ( 1 ^
'13-V
Отсюда мы видим, что /(z) стремится к нулю, когда z уходит в бесконечность (в С). Следовательно, z\—:>\f(z)\ является непрерывным отображением С в множество вещественных чисел 0, ограниченным и принимающим малые значения вне некоторого большого круга. Значит, оно имеет максимум, скажем М. Пусть D — множество элементов z?C, для которых \f(z)\ = M. Тогда D непусто; D ограничено и замкнуто. Докажем, что D открыто, и тем самым получим противоречие.
Пусть с0 —некоторая точка из D, которую после сдвига мы можем предполагать совпадающей с нулем. Мы утверждаем, что если г, вещественное и > О, мало, то все точки окружности радиуса г с центром в с0 лежат в D. Действительно, рассмотрим сумму
п “ х0 — со*/*
k-l
где со — примитивный корень п-й степени из единицы. Формальное
п
взятие логарифмической производной от Хп—гп= Ц (^ — соV) по-
ft-i
называет, что
пХ«-! _ Yl 1
Хп — гп ~ 2* X — G)kr '
k = \
откуда, деля на га и подставляя xQ вместо X, получаем 5 («) =-----------------------------------!------—г.
х0 — г(г1х0)п Если г мало (скажем, | r/x0 | < 1), то . , о , , , II
330
ГЛ. XII. АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Предположим, что существует комплексное число X с абсолютным значением 1, такое, что
1
- Хг
< М.
Тогда около X найдется на единичной окружности интервал и найдется такое число е > О, что для всех корней из единицы ?, лежащих в этом интервале,
< М — е.
I *0 — &
(Это вытекает из непрерывности.) Возьмем п достаточно большим. Пусть Ьп — число корней п-й степени из единицы, лежащих в нашем интервале. Тогда bjn приблизительно равно длине этого интервала (деленной на 2я). Мы можем представить S (и) в виде суммы
Предыдущая << 1 .. 115 116 117 118 119 120 < 121 > 122 123 124 125 126 127 .. 205 >> Следующая