Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Алгебра - Ленг С.

Ленг С. Алгебра — Москва , 1968. — 572 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1968.djvu
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 205 >> Следующая

где первая сумма 2i берется по тем корням из единицы оД которые лежат в нашем интервале, а вторая сумма берется по всем остальным корням. Каждый член второй суммы имеет норму ^ М, так как М—максимум. Следовательно, получаем оценку
< I (й„ (Ж-е)Ч-(«-*„) М)<М-^ е. Это противоречит тому факту, что предел | 5 (ге) | равен М.
Следствие. Пусть поле К является расширением поля R и обладает абсолютным значением, продолжающим обычное абсолютное значение на R. Тогда либо Af = R, либо К— С.
Доказательство. Допустим сначала, что К содержит С. Тогда из предположения, что К — поле, и из теоремы 1 следует, что К = С.
Если К не содержит С, другими словами, не содержит квадратного корня из —1, то мы введем L = K(j), где j2 = —1. Определим норму на L (как R-пространстве), положив
I * + У] I = \х | +1 У I
для х, у?К. Это, очевидно, превращает L в нормированное R-npo-странство. Кроме того, если z — х-\- yj и z' = х' -j-у'j, то
I zz' I = I хх' — уу' | -|-1 ху' + х'у I <
§ 2 ПОПОЛНЕНИЯ
331
и мы можем снова применить теорему 1, что и завершает доказательство.
При помощи предложения 3 получается следующее важное утверждение:
Предложение 4. Пусть К — поле, полное относительно нетривиального абсолютного значения v, и Е— произвольное алгебраическое расширение К. Тогда v имеет единственное продолжение на Е. Если Е конечно над К, то Е полное.
Доказательство. В архимедовом случае существование продолжения очевидно, поскольку мы имеем дело с вещественными или комплексными числами. В неархимедовом случае мы отложим доказательство существования до одного из следующих параграфов. Оно использует идеи, совершенно отличные от рассматриваемых здесь. Чю касается единственности, то мы можем предполагать, что Е конечно над К. В силу предложения 3 всякое продолжение v на Е определяет ту же топологию, что и норма, задаваемая как максимум абсолютных значений коэффициентов в разложении по базису. Если и Е задана последовательность Коши |(N)
|(v) = xvlw1 + ... + xv„co„,
то п последовательностей {xvi} (i = 1.......п) должны быть после-
довательностями Коши в Л- по определению нормы как максимума норм коэффициентов. Если {xvi} сходится в К к элементу zt, то очевидно, что последовательность сходится к ZjCOj -f- ... гп<ап. Следовательно, Е—полное. Кроме того, поскольку любые два продолжения v на Е эквивалентны, мы можем применить предложение 1, причем обязательно Я=1, так как оба продолжения индуцируют одно и то же абсолютное значение v на К. Это доказывает то, что нужно.
Из единственности мы можем получить явное выражение для абсолютного значения на алгебраическом расширении К. Заметим сначала, что если Е—нормальное расширение К и о — автоморфизм Е над К, то функция
х I—>|ах |
является абсолютным значением на Е, продолжающим заданное абсолютное значение на К.
Следовательно, мы должны иметь
I ох | = | X I
для всех х?Е. Если Е алгебраично над К и о — вложение Е в К над К, то остается справедливым то же заключение. В часности, если а — алгебраический элемент степени п над К и а, . .. ,ая —
332
ГЛ. XII. АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
его сопряженные (с учетом кратностей, равных степени несепара-бельности), то все абсолютные значения [ aL | равны. Обозначив через N норму из К (а) в К, мы видим, что
| N (а) | = | а Iя,
и извлекая корень я-й степени, получаем
Предложение 5. Пусть К — поле, полное относительно некоторого нетривиального абсолютного значения. Пусть элемент а алгебраичен над К и N — норма из К (а) в К. Если п—[К (а): К], то
| a\ = \N(a)lVn.
В частном случае поля комплексных чисел над полем вещественных чисел можно записать а — а-\--Ы, где a, b? R, и мы видим, что формула из предложения 5 является обобщением формулы для абсолютного значения комплексного числа
а = (я2-|- Ь2)'1г,
поскольку a2-f-&2 есть не что иное, как норма числа а из С в R.
§ 3. Конечные расширения
В этом параграфе мы будем иметь дело с полем К, снабженным нетривиальным абсолютным значением v.
Мы хотим описать, как это абсолютное значение продолжается на конечные расширения поля К. Если Е—расширение над К и w — некоторое абсолютное значение на Е, продолжающее v, то будем писать w | v.
Мы знаем, что v может быть продолжено на пополнение Kv, а затем однозначно продолжено на его алгебраическое замыкание Kv. Если Е—конечное расширение К или даже произвольное алгебраическое расширение, то мы можем продолжить v на Е, вложив Е в Kv посредством изоморфизма над К и взяв индуцированное абсолютное значение на Е. Мы докажем теперь, что всякое продолжение v может быть получено этим способом.
Предложение 6. Пусть Е — конечное расширение поля К, w — некоторое абсолютное значение на Е. продолжающее v. Ew — соответствующее пополнение и Ки. — замыкание К в Ew, причем Е отождествлено с подполем в Ew. Тогда EW = EKW (композит).
§ 3. КОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
333
Доказательство. Заметим, что Kw является пополнением К и что композит ЕКШ конечен над Kw, а потому, согласно предложению 4, § 2, является полным полем. Так как он содержит Е, то Е плотно в нем и, следовательно, Ew = EKW.
Если мы начинаем с вложения о: E-+Kv (относительно которого всегда предполагается, что оно берется над К), то снова в силу предложения 4 § 2 поле аЕ ¦ Kv — полное. Таким образом, эта конструкция и конструкция из предложения 6 по существу совпадают с точностью до изоморфизма. В дальнейшем мы примем точку зрения вложений. Теперь мы должны определить, когда два вложения дают нам одно и то же абсолютное значение на Е.
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 205 >> Следующая