Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Алгебра - Ленг С.

Ленг С. Алгебра — Москва , 1968. — 572 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1968.djvu
Предыдущая << 1 .. 117 118 119 120 121 122 < 123 > 124 125 126 127 128 129 .. 205 >> Следующая

Пусть даны два вложения о, х: E—>KV', мы будем говорить, что они сопряжены над Kv, если существует автоморфизм X поля Kv над Kv, для которого о = Хх. Мы видим, что в действительности нам достаточно знать действие X на тЕ или тЕ • Ку.
Предложение 7. Пусть Е — алгебраическое расширение К. Два вложения о, т: E-+Kv тогда и только тогда приводят
к одному и тому же абсолютному значению на Е, когда они
сопряжены над Kv.
Доказательство. Предположим, что они сопряжены над Kv. Тогда единственность продолжения абсолютного значения с Kv на Kv гарантирует, что индуцированные абсолютные значения на Е равны. Обратно, предположим, что они равны. Пусть X: хЕ-+аЕ— изоморфизм над К. Покажем, что X продолжается до изоморфизма хЕ • Kv на аЕ • Kv над Kv. Так как тЕ плотно в хЕ ¦ Kv, то всякий элемент
х ? тЕ ¦ Kv может быть записан в виде
х = lim тх„,
где хп ? Е. Поскольку абсолютные значения, индуцированные вложениями о и т на Е, совпадают, последовательность Хххп = ахп сходится к некоторому элементу из оЕ • Kv, который мы обозначим через Хх. Непосредственно проверяется, что Хх не зависит от специального выбора последовательности ххп и что X: т Е ¦ Kv—> аЕ • Kv есть изоморфизм, который, очевидно, оставляет поле Kv неподвижным. Это доказывает наше предложение.
Ввиду двух предыдущих предложений при заданном продолжении w абсолютного значения v на конечное расширение Е поля К мы можем отождествлять Ew с композитом ЕКГ полей Е и Kv. Если степень N = [E:K] конечна, то мы будем называть
= [Ew : Kv\
локальной степенью.
334
ГЛ XII АБСОЛЮТНЫ? ЗНАЧЕНИЯ
Предложение 8. Пусть Е—конечное сепарабельное расширение над К степени N. Тогда
N=^NW.
W | V
Доказательство. Как известно, Е = К (а) для какого-то элемента а. Пусть / (X)—его неприводимый многочлен над АГ. Тогда над Kv мы имеем разложение
f(X) = fl(X) ... fr(X)
на неприводимые множители /,• (X). В силу нашего предположения
о сепарабельности все они встречаются с кратностью 1. Вложения Е в Kv соответствуют отображениям а в корни многочленов /;. Два вложения сопряжены тогда и только тогда, когда они отображают а в корни одного и того же многочлена /,. С другой стороны, ясьо, что локальная степень в каждом случае есть в точности степень /,. Это доказывает наше предложение.
Предложение 9. Пусть Е — конечное расширение над К. Тогда
2 lEw ¦ Kv\ < Iе : К].
W I V
Если Е чисто несепарабельно над К, то существует только одно абсолютное значение w на Е, продолжающее v.
Доказательство. Сначала докажем второе утверждение. Если Е чисто несепарабельно над К и рТ — его несепарабельная степень, то ар ? К для всякого а из Е. Следовательно, v имеет единственное продолжение на Е. Рассмотрим теперь общий случай конечного расширения и положим F = EP К. Тогда F сепарабельно над К и Е чисто несепарабельно над F. В силу предыдущего предложения
2 [Fw : Kv\ = [F : К]
W \V
и для каждого w будет [Ew : Fw] [Е •. F\. После этого неравенство, фигурирующее в формулировке предложения, становится очевидным.
Если v — такое абсолютное значение на К, что для всякого конечного расширения Е поля К имеет место равенство [Е \ К\ —
— 2 \Ew '¦ то мы будем говорить, что v хорошо себя ведет.
W } V
Рассмотрим башню конечных расширений LzdEzdK. Пусть w про-Гегаег все абсолютные значения на Е, продолжающие v, а и — все
« 3 КОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
335
абсолютные значения на L, продолжающие v. Если u\w, то La содержит Ew. Таким образом,
2 [Lu ¦ Kv\ = 2 2 \La : Ew] [Ew : Kv] =
U I V w\ V U Iw
= 2 [?» : *„] 2 [i u- EJ <
W I V и \ w
< 2 [Ew : [i : ?] <
w | г/
<[?: К] [Л:?].
Отсюда мы непосредственно видим, что если v хорошо себя ведет, Е — конечное расширение над К и w продолжает v на Е, то w также хорошо себя ведет (мы должны всюду иметь равенство).
Пусть Е—конечное расширение К и рт—его несепарабельная степень. Напомним, что норма элемента а ? Е задается формулой
Nx(d) = IX аарГ,
О
где а пробегает все различные изоморфизмы Е над К (в заданное алгебраическое замыкание).
Если w — абсолютное значение, продолжающее v на Е, то норма из Ew в Kv будет называться локальной нормой.
Заменив выше произведение на сумму, получим след и локальный след. Мы обозначаем след сокращенно символом Тг.
Предложение 10. Пусть Е — конечное расширение К, и пусть v хорошо себя ведет. Тогда
W [V V
Тг^(а) = 2 Тг^(а)
W \ V V
для любого а ?Е.
Доказательство. Предположим сначала, что Е — К(а), и пусть / (X)— неприводимый многочлен элемента а над К. Разложив / (X) на неприводимые множители над Kv, получим
f(X) = f1(X) .../,(*).
где каждый /((X) неприводим и все /( различны ввиду нашего предположения, что v хорошо себя ведет. Норма A/f(a) равна свободному члену /, умноженному на (—l)deg^, и аналогично для каждого /г. Поскольку свободный член / равен произведению свободных членов /г, получаем первую часть предложения. Утверждение для следа вытекает из рассмотрения предпоследнего коэффициента у / и каждого /(.
336
ГЛ. XII. АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Если Е не равно К (а), то мы просто используем транзитивность нормы и следа. Детали предоставляются читателю.
Предыдущая << 1 .. 117 118 119 120 121 122 < 123 > 124 125 126 127 128 129 .. 205 >> Следующая