Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Алгебра - Ленг С.

Ленг С. Алгебра — Москва , 1968. — 572 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1968.djvu
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 205 >> Следующая

Отметим, что если х, у?К и у Ф 0, то
I х | < | у | ( х/у | < 1 х/у ? т*.
Обратно, если задано нормирование поля К в некоторую упорядоченную группу, то пусть о — подмножество в К, состоящее из всех таких к, что |х|-^1. Из аксиом нормирования тотчас вытекает, что
о — кольцо Если | х | < 1, то | лг~11 > 1, так что х-1 не лежит в о. Если | х | = 1, ю | х-11=1. Мы видим, что о есть кольцо нормирования, максимальный идеал которого состоит из элементов х с |х[< 1 и единицами которого служат элементы х с |х|=1. Читатель тотчас проверит, что имеется биективное соответствие между кольцами нормирования в К и классами эквивалентности нормирований.
Пусть F — поле и пусть символ со удовлетворяет обычным алгебраическим правилам. Для а ? F по определению
а + со = со; а-со = оо, когда аФ 0;
со-со = со; 1/0 = оо и 1/оо = 0
Выражения оо ± оо, 0 • со, 0/0, оо/со не определены.
§ 4. НОРМИРОВАНИЯ
339
Точкой ф поля К в поле F называется отображение ф: К -> {/\ оо}
поля К в множество, состоящее из F и оо, удовлетворяющее обычным правилам для гомоморфизмов
Ф(а-|-6) = ф(а)Н- ф (Ь),
Ф (аЬ) = ф (а) ф (b)
(если только выражения, стоящие в правых частях этих формул, определены) и такое, что ф(1)=1. Мы будем говорить также, это эта точка является F-значной. Элементы из К, которые не переводятся в оо, будут называться конечными в этой точке, а остальные элементы будут называться бесконечными.
Читатель тотчас проверит, что множество о элементов из К, конечных в некоторой точке, является кольцом нормирования в К. Его максимальный идеал состоит из тех элементов х, для которых ф (х) = 0. Обратно, если о — кольцо нормирования в К с максимальным идеалом тп, то обозначим через ф:о—>о/гп канонический гомоморфизм и положим ф(х) = оо для х?К, х(?о. Тривиально проверяется, что Ф — точка.
Пусть ф^ /<"—>{/71, со} и ф2: К —> {F2, со}—две точки поля К. Беря их ограничения на образы, мы можем считать, что они сюръек-тивны. Будем говорить, что они эквивалентны, если существует изоморфизм К: FX—>F2, для которого ф2 = А, о ф,. (Мы полагаем А,(оо) = со.) Легко видеть, что две точки эквивалентны в том и только в том случае, если они имеют одно и то же кольцо нормирования. Ясно, что имеется биективное соответствие между классами эквивалентности точек поля К и кольцами нормирования в К. Точка называется тривиальной, если она инъективна. Кольцом нормирования тривиальной точки служит просто само поле К.
Заметим, что, как и в случае гомоморфизмов, композиция двух точек снова является точкой (тривиальная проверка).
Часто удобнее иметь дело с точками, а не с кольцами нормирования, так же как иногда удобнее иметь дело с гомоморфизмами, а не с каноническими гомоморфизмами или кольцами по модулю идеала. Однако во всем дальнейшем мы используем язык колец нормирования и предоставляем читателю перевод на язык точек.
Общая теория нормирований и колец нормирования принадлежит Круллю (1932). Однако теория продолжения гомоморфизмов из гл. IX, § 3, была развита лишь около 1945 г. Она дает нам теорему продолжения для нормирований.
Теорема 1. Пусть К — подполе тля L. Тогда всякое нормирование на К имеет продолжение до нормирования на L.
340
ГЛ XIT. АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Доказательство. Пусть о — кольцо нормирования в К, соответствующее данному нормированию. Пусть <р: о -> о/m — канонический гомоморфизм на поле вычетов. Продолжим его до гомоморфизма некоторого кольца нормирования О в L, согласно § 3 из гл. IX. Пусть ЗЛ — максимальный идеал в О. Так как ЗИ П о содержит т, но не содержит 1, то 9И П о = т. Пусть U'—группа единиц кольца О. Тогда U' П К — U будет группой единиц кольца о. Таким образом, имеем каноническое вложение
которое, как непосредственно проверяется, сохраняет порядок. Отождествляя К*/U с подгруппой в L*jU', мы получаем продолжение нашего нормирования поля К до нормирования L.
Разумеется, когда мы имеем дело с абсолютными значениями, мы требуем, чтобы группа значений была подгруппой мультипликативной группы положительных чисел. Следовательно, мы должны еще кое-что доказать о природе группы значений L*IU' в случае, когда L алгебраично над К.
Предложение 12. Пусть L — конечное расширение степени п поля К, и пусть w — нормирование L с группой значений Г', а Г — группа значений нормирования поля К. Тогда (Г' : Г) ^ п.
Доказательство. Пусть [ уг [........| уг |— элементы из Г7,
представляющие различные смежные классы Г' по Г. Докажем, что у7-линейно независимы над К. В соотношении ахух-\- ... ~\-аГуТ = 0 с а;- ? К, aj ф 0, два члена должны иметь одно и то же значение, скажем | aiyi | = | ау_уу |, где 1ф] и, значит,
Это противоречит предположению, что | yt |, | у;-1 (I Ф j) представляют разные смежные классы Г' по Г, и тем самым доказывает наше предложение.
Следствие 1. Существует целое число е^-1, такое, что отображение —>\е индуцирует инъективный гомоморфизм Г' в Г.
Доказательство. Возьмем е равное индексу (Г': Г).
Следствие 2. Если К—поле с нормированием v, группа значений которого есть упорядоченная подгруппа упорядоченной группы положительных вещественных чисел, и если L — алгебраическое расширение поля К, то существует продолжение нормирования v на L, группой значений которого также служит некоторая упорядоченная подгруппа положительных вещественных чисел.
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 205 >> Следующая