Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Алгебра - Ленг С.

Ленг С. Алгебра — Москва , 1968. — 572 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1968.djvu
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 205 >> Следующая

Предложение 17. Пусть о — кольцо нормирования поля К, L — конечное расширение К, О — кольцо нормирования поля L, лежащее над о, и ЗЯ — его максимальный идеал. Пусть, далее, В — целое замыкание кольца о в L и ^ = Тогда О равно-
локальному кольцу В
Доказательство. Ясно, что В содержится в О. Обратно, пусть х — элемент из О. Тогда х удовлетворяет уравнению с коэффициентами в К, среди которых не все равны 0, скажем
апхпА- ... -\-aQ = 0, аг6^-
Пусть as — коэффициент, имеющий наибольшее значение среди аг относительно нормирования, ассоциированного с кольцом нормирования о, и притом самый старший из коэффициентов, имеющих это
значение. Положим ?г = аг/а9. Тогда все bt? о и bn.....
Разделим уравнение на Xs. Получим
(?,гхл-*4~ ... -+А+1Х+ 1)4- —4- ••• 4-?0 xs-i) =
Обозначим через у и z два выражения, стоящие в скобках в предыдущем уравнении, так что
— y = zjx и —ху==г.
344
ГЛ XII АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Чтобы доказать наше предложение, достаточно показать, что у и z лежат в В и что у не лежит в ^3.
Воспользуемся предложением 15. Если некоторое кольцо нормирования из L, лежащее над о, содержит л:, то оно содержит и у, поскольку у есть многочлен от х с коэффициентами в о. Следовательно, оно содержит также и z — — ху. Если, с другой стороны, кольцо нормирования поля L, лежащее над о, содержит 1/х, то оно содержит z, поскольку z есть многочлен от 1/х с коэффициентами в о. Следовательно, это кольцо нормирования содержит также и у. Отсюда в силу предложения 15 заключаем, что у, z лежат в В.
Кроме того, так как х ? О, a bn.......bs+x лежат по построе-
нию в ЭК, то у не может лежать в ЭК и, следовательно, не может лежать в ^3. Это завершает доказательство.
Следствие 1. Пусть обозначения те же, что и в предложении. Тогда существует лишь конечное число колец нормирования в L, лежащих над о.
Доказательство. Это вытекает из того факта, что существует лишь конечное число максимальных идеалов кольца В, лежащих над максимальным идеалом кольца о (следствие к предложению 11, гл. IX, § 2).
Следствие 2. Пусть обозначения те же, что и в предложении. Предположим дополнительно, что L является расширением Галуа над К. Если О и СУ—два кольца нормирования в L, лежащие над о, с максимальными идеалами 9W, Ш' соответственно, то существует автоморфизм а поля L над К, такой, что oD = 0' и оЗК = ЯК/.
Доказательство. Пусть ^3 = 0(1^ и ^3/ = СУ’П?- В силу предложения 11 из гл. IX, § 2, мы знаем, что существует автоморфизм а поля L над К, для которого 0^3 = ^3'. После этого наше утверждение очевидно.
Пример. Пусть k — поле и К — его конечно порожденное расширение степени трансцендентности 1. Если t—базис трансцендентности К над k, то К будет конечным алгебраическим расширением над k(t). Пусть О — кольцо нормирования поля К, содержащее k, причем О фК. Положим о = 0 [\k(t). Тогда, очевидно, о является кольцом нормирования поля k (t) (условие об обратных заведомо удовлетворяется) и соответствующее нормирование поля k(t) не может быть тривиальным: либо t, либо Скажем, Пусть ш —
максимальный идеал в о. Тогда m f| k [t] не может быть нулевым идеалом, иначе канонический гомоморфизм о-» о/m индуцировал бы изоморфизм на k\t\ и, значит, изоморфизм на k(t) вопреки предположению. Следовательно, in Пk[t\ есть простой идеал р, порожден-
§ 5. ПОПОЛНЕНИЯ И НОРМИРОВАНИЯ
345
ный каким-то неприводимым многочленом р (t). Локальное кольцо k [?] является, очевидно, кольцом нормирования, которое должно совпадать с о, поскольку всякий элемент из k(t) имеет представление вида рти, где и — единица в k\t] . Таким образом, мы определили все кольца нормирования поля k(t), содержащие k, и мы видим, что группа значений—циклическая. Такие нормирования будут называться дискретными. Они изучаются более подробно ниже. Ввиду следствия 3 предложения 12 кольцо нормирования О в К также дискретно.
Поле вычетов о/m равно k [t]/p, а потому является конечным расширением k. В силу предложения 13 отсюда следует, что С>/Э№ конечно над k (здесь Ш обозначает максимальный идеал в О).
Наконец, отметим, что существует лишь конечное число колец нормирования О поля К, содержащих k и таких, что t лежит в максимальном идеале кольца О. Действительно, такое кольцо нормирования должно лежать над k[?] , где р = (^) — простой идеал, порожденный t, и мы можем применить доказанное выше следствие 1.
§ 5. Пополнения и нормирования
В этом параграфе мы рассматриваем неархимедово абсолютное значение v на поле К. Это абсолютное значение является нормированием, группа значений которого Г^. есть подгруппа группы положительных вещественных чисел. Пусть о — его кольцо нормирования, m — максимальный идеал.
Обозначим через К пополнение К относительно v и через о(соответственно т)—замыкание о (соответственно т) в К. По непрерывности всякий элемент из о имеет значение <^1, а всякий элемент из. К, не лежащий в о, имеет значение > 1. Если х?К, то существует элемент у?К, для которого \х — у\ очень мало и, значит, |.>е| = |у| для такого элемента у (в силу неархимедовости). Следовательно, о — кольцо нормирования в К и m — его максимальный идеал. Кроме того,
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 205 >> Следующая