Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Алгебра - Ленг С.

Ленг С. Алгебра — Москва , 1968. — 572 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1968.djvu
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 205 >> Следующая

on^ = 0, =
и мы имеем изоморфизм
о/m—>о /т.
Таким образом, поле вычетов о/m не изменяется при пополнении.
Пусть Е— расширение поля К, 0Е — его кольцо нормирования, лежащее над о, и тЕ — максимальный идеал в оя. Предположим, что-нормирование, соответствующее ое, является в действительности
346
ГЛ XII АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
абсолютным значением, так что мы можем образовать пополнение Е-Тогда имеет место коммутативная диаграмма
оЕ1тЕ —+~оЕ1 Щ t o/m —o/m
в которой вертикальные стрелки являются вложениями, а горизонтальные — изоморфизмами. Таким образом, расширение поля вычетов нашего нормирования можно изучать для пополнений Е и К.
Аналогичное замечание применимо и к индексу ветвления. Пусть Гр(/С) и YV(K) обозначают группы значений наших нормирований на К и К соответственно (т. е. образ при отображении х\—>|х| для х?К* и д: ? К* соответственно). Мы видели выше, что Гр (К) = (К)\
другими словами, ввиду свойства неархимедовости группа значений при пополнении остается той же самой. (Это, разумеется, уже не так в архимедовом случае.) Пусть снова Е — расширение поля К я w — абсолютное значение на Е, продолжающее v. Имеет место коммутативная диаграмма
Гв (Е)— ->Г„(?)
t t rv(K) —->г v(k)
из которой видно, что индекс ветвления (ГШ(С): (ЛГ)) также не
изменяется при пополнении.
§ 6. Дискретные нормирования
Нормирование называется дискретным, если его группа значений циклическая. В этом случае нормирование является абсолютным значением (если мы рассматриваем группу значений как подгруппу в группе положительных вещественных чисел). Для всякого простого числа р р-адическое нормирование поля рациональных чисел дискретно. В силу следствия 3 предложения 12 § 4 продолжение дискретного нормирования на конечное расширение также дискретно. Если не считать абсолютные значения, получаемые вложением поля в поле вещественных или комплексных чисел, дискретные нормирования являются практически наиболее важными абсолютными значениями. Мы посвятим им несколько замечаний.
Пусть v — дискретное нормирование поля К и о — его кольцо нормирования, m — максимальный идеал. В т имеется элемент я,
$ 6 ДИСКРЕТНЫЕ НОРМИРОВАНИЯ
347
значение которого | я | порождает всю группу значений. (Другой образующей группы значений служит элемент | л-11.) Такой элемент л называется локальным параметром для v (или для т). Всякий элемент х из К может быть записан в форме
х = илг,
где и — единица из о и г — некоторое целое число. Действительно,
| х | = | л |г = | лг | для некоторого z? Z, откуда вытекает, что х/лг— единица в о. Мы называем г порядком х относительно v. Он, очевидно, не зависит от выбора параметра. Мы будем также говорить, что х имеет нуль порядка г. (Если г отрицательно, то мы говорим, что х имеет полюс порядка — г )
В частности, мы видим, что in — главный идеал, порожденный я. В качестве упражнения проверьте, что всякий идеал в о главный и является степенью т. Заметим, кроме того, что о — факториальное кольцо с единственным простым элементом (с точностью до единиц), а именно л.
Для элементов х, у?К будем использовать запись х ~ у, если |х| = |у|. Пусть я,(/=1, 2, . . .)—последовательность элементов из о, таких, что л(~л'. Пусть R— множество представителей о/ill в о. Это означает, что каноническое отображение о-^-о/т индуцирует биекцию R на о/m. Всякий элемент х из о может быть записан в виде сходящегося ряда
х а^ —|— ахЯ| —1~ а2л2 —t- • * •»
где коэффициенты at?R однозначно определяются элементом х. Это легко доказывается посредством индуктивного рассуждения. Предположим, что
х = а0-1- ... -\-апяп (modrn"1"1).
Тогда х — (я0Н~ ... -+ апя„) = л,1+1у для некоторого у ? о. По предположению у = ап^1-\-лг для некоторого an+l?R. Отсюда получаем
х = а0-+ (mod тл+2),
и ясно, что я-й член нашего ряда стремится к 0. Очевидно, что построенный таким образом ряд сходится к х. Если поле К—полное относительно нашего нормирования, то всякий такой ряд сходится к некоторому элементу из К (в силу неархимедовости !). Из того факта, что R содержит точно по одному представителю для каждого класса вычетов mod m, вытекает, что а( однозначно определены
348
ГЛ. XII. АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Примеры. Рассмотрим сначала случай поля рациональных чисел •с р-адическим нормированием vp. Пополнение обозначим символом Qp. Это поле р-адических чисел. Замыкание Z в Qp называется кольцом целых р-адических чисел Ър. Отметим, что простое число р является простым элементом и в кольце Z, и в его замыкании Ър. Мы можем выбрать в качестве нашего множества представителей R множество целых чисел (0, 1, .... р—1). Таким образом, всякое целое р-адическое число может быть записано в виде сходящейся суммы гДе ai — целые числа, 0 ^а{ ^ р—1. Эта сумма называется р-адическим разложением. Такие суммы складываются и умножаются обычным способом как сходящиеся ряды.
Например, справедлив обычный формализм для геометрической прогрессии, и, скажем, для р = 3
- 1 =т4з- = 2d + 3 + 32+ . . .).
Отметим, что представители (0, 1.........р—1) ни в коей мере
не являются единственными, могущими быть использованными. В действительности можно доказать, что Ър содержит корни (р—1)-й степени из единицы, и часто удобнее выбирать эти корни из единицы в качестве представителей для ненулевых элементов поля вычетов.
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 205 >> Следующая