Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Алгебра - Ленг С.

Ленг С. Алгебра — Москва , 1968. — 572 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1968.djvu
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 205 >> Следующая

Теперь рассмотрим случай поля рациональных функций k(t), где k—произвольное поле и t трансцендентно над k. Возьмем нормирование, определяемое простым элементом t кольца k [f]. Это нормирование дискретно, а пополнением k [^] относительно него служит кольцо степенных рядов ?[[?]]. Мы можем взять элементы из k в качестве представителей поля вычетов, которое канонически изоморфно k. Максимальным идеалом в k [[?]] является идеал, порожденный t.
Все это представляет собой алгебраизацию обычной ситуации, возникающей в теории функций комплексного переменного. Например, пусть z0—точка на комплексной плоскости и о — кольцо функций, голоморфных в некотором круге с центром z0. Тогда о — кольцо дискретного нормирования, максимальный идеал которого состоит из тех функций, которые имеют нуль в z0. Всякий элемент из о обладает разложением в степенной ряд
ОО
/0)= 2 av(z — z0)v.
v=m
В качестве представителей поля вычетов могут быть взяты комплексные числа av. Если ат ф 0, то говорят, что / (z) имеет нуль порядка т. Порядок будет один и тот же, иметь ли в виду порядок относительно дискретного нормирования в алгебраическом смысле,
§ 6 дискретные нормирования
349
или порядок в смысле теории функций комплексного переменного. Мы можем выбрать канонический униформизирующий параметр, а именно z — z0 и
f(z) = (z — z0)m g(z),
где g(z)—степенной ряд, начинающийся с ненулевой константы. Таким образом, g(z) обратим.
Пусть снова К — поле, полное относительно некоторого дискретного нормирования, и Е— конечное расширение К. Пусть оЕ, тЕ— кольцо нормирования в Е и его максимальный идеал, лежащие над о, m в К. Пусть П — простой элемент в Е. Если ГЕ и Гд- — группы значений нормирований в Е и К соответственно и
е — : Г/f)
— индекс ветвления, то
|П*НМ.
а элементы
П'л;, —1, j — 0, 1, 2, ....
имеют порядок je-\~i в Е.
Пусть Юр ..., ©у,— элементы из ъЕ, классы вычетов которых mod тЕ образуют базис в сЕ/тЕ. Если R, как и выше, обозначает множество представителей поля o/m в о, то множество, состоящее из всех элементов вида
«1©!+ . • .
где at ? R, будет множеством представителей для oEjmE в оЕ. Отсюда видно, что всякий элемент из оЕ обладает сходящимся разложением
е—1 / со
2 2 2 «v, I, яЧп'.
/=0 v=1 /=О
Таким образом, элементы {о\,П'} образуют множество образующих оЕ как модуля над о. С другой стороны, мы видели в доказательстве предложения 13 из § 4, что эти элементы линейно независимы над К. Следовательно, получаем
Предложение 18. Пусть К — поле, полное относительно дискретного нормирования, Е — конечное расширение К и е, / — соответственно индекс ветвления и степень поля вычетов. Тогда
ef = [Е: К].
Следствие 1. Пусть а?Е, а Ф 0, v — нормирование на К и w — его продолжение на Е. Тогда
ord0 Nk(o) — f (w\v) orda, a.
350
ГЛ. XII. АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Доказательство. Это вытекает непосредственно из формулы
I (а) | = | а f
и из определений.
Следствие 2. Пусть К — произвольное поле и v — дискретное нормирование на К. Пусть Е — конечное расширение поля К. Если v хорошо себя ведет в Е (например, если Е сепарабельно над К), то
2 е (w | v) / (да | v) — [Е : К].
W | V
Если Е — расширение Галуа над К, то все ew равны одному и тому же числу е, а все fw — одному и тому же числу /, так что
efr = [Е : К],
где г — число продолжений v на Е.
Доказательство. Первое утверждение вытекает из нашего предположения и из предложения 8 § 3. Если Е—расширение Галуа над К, то, как мы знаем из следствия 2 предложения 17 § 4, любые два нормирования поля Е, лежащие над v, сопряжены. Следовательно, все индексы ветвления равны и то же самое верно для степеней полей вычетов. Наше соотношение е/r = [Е: К] теперь очевидно.
§ 7. Нули многочленов в полных полях
Пусть К—поле, полное относительно некоторого нетривиального абсолютного значения.
Пусть
f(X)=U(X — aji
— многочлен из К [X] со старшим коэффициентом 1 и с различными корнями аг кратностей г(. Обозначим через d степень /. Пусть g — другой многочлен с коэффициентами из К также степени d и со старшим коэффициентом 1. Обозначим через jgl — максимум абсолютных значений коэффициентов g. Легко видеть, что если величина jgf ограничена, то абсолютные значения корней g также ограничены.
Предположим, что g близок к / в том смысле, что величина | /—g | мала. Если р — корень g, то величина
§ 7. НУЛИ МНОГОЧЛЕНОВ В ПОЛНЫХ ПОЛЯХ
351
мала и, следовательно, р должен быть близок к некоторому корню /. Если р близок, скажем, к a = aj, то его расстояние до других корней / близко к расстоянию от до других корней, а потому ограничено снизу. В этом случае мы будем говорить, что р принадлежит а.
Предл ожение 19. Если многочлен g достаточно близок к / и Pj, . . ., Р5—корни g, принадлежащие а (с учетом кратностей), то s = гх есть кратность а в /.
Доказательство. Предположим противное. Тогда можно найти последовательность многочленов gv, стремящихся к /, у которых имеется точно 5 корней р^........P^v), принадлежащих р, причем
s Ф rv (Мы можем брать многочлены с одним и тем же 5, так как имеется лишь конечное число возможных значений для s.) Кроме того, остальные корни gv также принадлежат корням /, и мы можем предполагать, что эти корни сгруппированы в соответствии с тем, какому корню / они принадлежат. Так как iimg'v = /, то заключаем, что а должен иметь кратность s в f — противоречие.
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 205 >> Следующая