Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Алгебра - Ленг С.

Ленг С. Алгебра — Москва , 1968. — 572 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1968.djvu
Предыдущая << 1 .. 154 155 156 157 158 159 < 160 > 161 162 163 164 165 166 .. 205 >> Следующая

у —¦ ps~ncxl
есть представитель для у, период которого равен рп.
Пусть у{ — представитель для yt, имеющий тот же период. Докажем, что элементы xv Vj...........ym независимы. Допустим, что
a, av am?R такие элементы, что
ахг -f- -j- ... -\-amym — 0.
Тогда
а\У\ -!--••• -f- о.тУш — 0.
По предположению aiyi — 0 для всякого i. Если рТ‘ — период у;, то рт 1 делит at. Отсюда заключаем, что aiyi = 0 для всякого i и что, следовательно, ахх = 0; тем самым требуемая независимость доказана.
Чтобы теперь получить разложение Е(р) в прямую сумму, заметим сперва, что модуль Е (р) — конечно порожденный. Мы можем предполагать, не теряя общности, что Е = Е(р). Пусть хг— элемент из Е, период которого рг' таков, что число гх максимально. Пусть Е = Е/(хх). Мы утверждаем, что dim?p как векторного пространства над R/pR строго меньше, чем dim?p. Действительно, если
У!.....ут ¦—линейно независимые элементы из Ер над RjpR, то-
из леммы 2 вытекает, что dim Ер ^ т -)- 1, так как мы всегда можем найти в (л:]) элемент, имеющий период р и не зависимый от
У!.....ут. Следовательно, dim Ер < dim Ер. Поэтому мы можем
доказать существование разложения в прямую сумму по индукции.
Если Еф0, то существуют элементы х2, .... xs, имеющие соответственно периоды рг2, . . ., prs и такие, что г2 ^ гу В силу
леммы 2 существуют представители х2, . . ., xs в Е, такие, что xt
имеет период рг‘ и хх........xs независимы. Поскольку период рг^
438
ГЛ. XV. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОДНОГО ЭНДОМОРФИЗМА
был выбран максимальным, мы имеем неравенство гх г2 и наше разложение получено.
Единственность будет следствием более общей теоремы единст-
венности, которую мы сейчас сформулируем.
Теорема 4. Пусть Е— конечно порожденный периодический модуль, ЕФ0. Тогда Е изоморфен прямой сумме ненулевых слагаемых
то® ••• ©л»
где qx.....qr — ненулевые элементы из R и qx \ q21 ... \ qT. Последовательность идеалов (qx), .. ., (qr) однозначно определена
предыдущими условиями.
Доказательство. Используя теорему 3, разложим Е в прямую сумму /7-подмодулей, скажем E(px)Q ... @E(pj), а затем разложим каждый E(pt) в прямую сумму циклических подмодулей периодов рТ.Ч, Символически мы изображаем это следующей диаграммой:
Е{рх): '•n</‘i2< • • •
Е (Р2> ¦ Г21 < Г22 < ' • •
Е (Pi) ¦ гп < Г,2 < • • •
Предполагается, что горизонтальные строки имеют одинаковую длину, причем хотя бы одна из них состоит из ненулевых элементов. В начале же некоторых строк могут стоять показатели rtj, равные нулю. Строки с исключенными из них нулями описывают типы модулей относительно простых элементов, указанных слева. Показатели г,;- расположены в возрастающем порядке, для всякого фиксированного
I — 1......I. Пусть qx......qr соответствуют столбцам этой матрицы
показателей; другими словами, положим
Ч\ — Р["Р22' • ¦ ¦ Р[11’
я2 = р[12рГ222 ¦¦¦ К12
..................')
Прямая сумма циклических модулей, представляемых первым столбцом, изоморфна Rj(qx), потому что, как и в случае абелевых групп, прямая сумма циклических модулей, периоды которых взаимно просты, также является циклическим модулем. Аналогичное замечание справедливо для каждого столбца. Заметим, кроме того, что
') Выписав последний элемент qr, мы столкнулись бы с нелепыми показателями rtf', к счастью, в явном виде они далее не выступают, так что особой необходимости в замене индекса г не ощущается. — Прим. ред.
§ 1. МОДУЛИ НАЛ КОЛЬЦАМИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
439
наше доказательство в действительности располагает qt в порядке возрастающей делимости, что и требовалось.
Теперь займемся единственностью. Пусть р — произвольный простой элемент. Предположим, что E=Rj(pb) для некоторого b?R, Ьф0. Тогда Ер есть подмодуль bRj(pb), как это следует немедленно из однозначной разложимости на множители в R. Но ядром композиции отображений
R-+bR->bRI(pb) служит в точности (р). Таким образом, имеем изоморфизм
RKp)^bRI(pb).
Пусть теперь модуль Е представлен, как сказано в теореме,
в виде прямой суммы из г членов. Элемент
г» = г»!® . . . ®г»Г, v, ? #/(<7/),
лежит в Ер в том и только в том случае, если pvt = 0 для всех I. Следовательно, Ер есть прямая сумма ядер умножения на р в каждом члене. Но Ер — векторное пространство над Rj(p), и его размерность равна, таким образом, числу членов Rl(qi), таких, что р делит qt.
Предположим, что р — простой элемент, делящий qv а значит
и qit для всех /=1........г. Пусть Е имеет разложение в прямую
сумму из s членов, удовлетворяющее условиям теоремы, скажем
е=я/(?0® • ея/(0-
Тогда элемент р должен делить по крайней мере г элементов q'., откуда г s. По симметрии г = s и р делит q' для всех j.
Рассмотрим модуль рЕ. В силу предыдущего замечания, записав qt — pbit мы будем иметь
pE^R<(bx)® ... ®Rl(br)
\i bx \ ... \ br. Некоторые из Ь{ могут быть единицами, но те, которые не являются единицами, по индукции определяют свой главный
идеал однозначно. Следовательно, если (?,)= ...=(bj)— 1, но {bj+x)=f= 1, то последовательность идеалов
ф,,,), . . ., фг)
однозначно определена. Это доказывает наше утверждение о единственности и завершает доказательство теоремы 4.
Предыдущая << 1 .. 154 155 156 157 158 159 < 160 > 161 162 163 164 165 166 .. 205 >> Следующая