Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Алгебра - Ленг С.

Ленг С. Алгебра — Москва , 1968. — 572 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1968.djvu
Предыдущая << 1 .. 168 169 170 171 172 173 < 174 > 175 176 177 178 179 180 .. 205 >> Следующая

менты из Е, которые могут быть записаны в виде
П
г = 1, .... г,
V — 1
то наше отображение задается правилом
(Wj .... wr) i-> (axxtx -f .. . + alntn) ... (antx arntn).
Очевидно, что это отображение полилинейно и симметрично. Следовательно, оно может быть пропущено через линейное отображение S'(E) в Рг:
Hin — > Sr (Е)
\ /
\р/
Г Т
Из коммутативности нашей диаграммы ясно, что для всякого набора из г целых чисел (/) —(г'ь ¦ • • • W элемент из S' (Е) отобра-
жается на . . . ti в Рт. Так как одночлены Мц) (t) степени г линейно независимы над k, то одночлены в Sr (?) также ли-
нейно независимы над k, и наше отображение Sr (?)—> Рг является изоморфизмом. Тотчас проверяется, что умножение в S(E) соответствует умножению многочленов в k [^] и, следовательно, отображение 5 (?) в алгебру многочленов, описанное выше для каждой компоненты S' (?), индуцирует изоморфизм алгебры 5 (Е) на алгебру k[t], что и требовалось.
§ 8. Кольцо Эйлера — Гротендика
Пусть k — поле и G— группа. Под (G, k)-модулем мы будем понимать пару (Е, р), состоящую из ^-пространства Е и гомоморфизма
р: О -> Autft (?).
Такой гомоморфизм называется также представлением G в Е. Допуская вольность речи, мы будем также говорить, что ^-пространство ? является G-модулем. Группа О действует на Е, и мы пи-
§ 8. КОЛЬЦО ЭЙЛЕРА - ГРОТЕНДИКА
479
шем ах вместо р (а)х. Поле ft во всем последующем будет оставаться фиксированным.
Пусть 3№(G) обозначает категорию, объектами которой являются (G, /г)-модули. Морфизмами в 2Ji(G) служат так называемые G-гомоморфизмы, т. е. ft-линейные отображения /: E—>F, такие, что f(ax) = af(x).
Если Е—G-модуль и a?G, то мы имеем по определению ft-автоморфизм о: Е—>Е. Поскольку Тг — функтор, для всякого’г имеем индуцированный автоморфизм
Г (о): Тг (Е) -> Тг (Е),
так что Tr(Е) также является G-модулем. Беря прямую сумму, мы видим, что Т (Е) есть G-модуль и, следовательно, Т — функтор из категории G-модулей в категорию градуированных G-модулей. Аналогично для Дг, Sr и Д, 5.
Ясно, что ядром G-гомоморфизма будет G-модуль и фактормо-дулем G-модуля по G-подмодулю — снова G-модуль. Пусть 99i0 — множество классов (G, й)-модулей относительно G-изоморфизма. Это множество является моноидом, сложе- :ie в котором представляется на модулях прямой суммой. Имеем гомоморфизм Гротендика
у. m0->K(G)
моноида Ша в группу Гротендика К (О), взятую относительно точных последовательностей (ср. также с конструкцией в гл. IV, § 3). Для простоты мы пишем К (G) вместо К (Ша).
Если [Е\ обозначает класс Е относительно изоморфизма, то будем также писать у(Е) вместо у ([?])¦
Если Е, F—G-модули, то их тензорное произведение E(gF над ft также является G-модулем. Здесь снова действие G на E®F задается функториально. Для всякого о ? О существует однозначно определенное ft-линейное отображение Е F Е F, такое, что для х?Е, y?F имеем —> a (х) <gi о (у). Тензорное произведение
индуцирует закон композиции на Ш0, так как тензорные произведения G-изоморфных модулей G-изоморфны. Мы утверждаем, что Ш0 является также мультипликативным моноидом. Наш закон композиции ассоциативен, поскольку тензорное произведение ассоциативно. Существует единичный элемент, а именно класс модуля ft над О, причем действие О на ft определяется правилом (a, a) i—>а для всех a?G и a?ft (таким образом, аа = а).
Произведение на Ш0, очевидно, дистрибутивно относительно сложения, так как тензорное произведение прямой суммы есть прямая сумма тензорных произведений.
Наконец, поскольку E®F G-изоморфно F®E, наше умножение в Ша коммутативно. Таким образом, Ша — моноид относительно сложения и коммутативный моноид относительно тензорного произведения,
480
ГЛ. XVI. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
причем умножение в нем Z-билинейно по отношению к сложению.
Так как k — поле, то тензорное умножение точной последовательности О-модулей над к на любой О-модуль над k сохраняет точность. Благодаря этому можно определить произведение в К (О), которое однозначно задается условием
У (?) у (F) = у (Е® F)
для всех G-модулей Е, F. Отсюда тривиально следует, что К (G) есть кольцо и что у — гомоморфизм как для аддитивного, так и для мультипликативного закона на Ша. Поэтому мы можем назвать К (G) кольцом Гротендика группы G (над k). Так как G фиксирована, то мы будем также писать К вместо К (О).
Если ? — О-модуль, то мы пишем X1 (Е) для обозначения элемента у(/\,1(Е)), другими словами, элемента в К (О), который является образом при у модуля Д‘ (Е) или, более точно, класса этого модуля относительно изоморфизма.
Определим теперь отображение 3Ra в кольцо степенных рядов К [ И ], а именно отображение Xt, такое, что
ОО
х (е) = 2 X (?) *'¦
1 = 0
Так как Д° (?) = &, то Х°(Е)~ 1. Следовательно, наше отображение является на самом деле отображением в мультипликативную группу степенных рядов, начинающихся с 1. Мы будем записывать эту группу в виде
Таким образом, Xt есть отображение
V Tla~>\+tK [[/]].
Предложение 14. Для любых k-модулей Е, F имеет место изоморфизм
II Л*(Е)® ЛЧП-+ Ar(E@F).
i+J~r
Доказательство. Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения.
Предыдущая << 1 .. 168 169 170 171 172 173 < 174 > 175 176 177 178 179 180 .. 205 >> Следующая