Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Алгебра - Ленг С.

Ленг С. Алгебра — Москва , 1968. — 572 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1968.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 205 >> Следующая

Всякое кольцо, рассматриваемое как модуль над собой, обладает базисом, состоящим из единичного элемента 1.
Пусть / — непустое множество, и для каждого г? / пусть Лг=Л, причем все At рассматриваются как Л-модули. Положим
1?1
Модуль F обладает базисом, состоящим из элементов еь в F, I-й компонентой которых является единичный элемент из Лг, а все другие компоненты равны 0.
Под свободным модулем мы будем понимать модуль, обладающий базисом, или же нулевой модуль.
104
Г Л Ш МОДУЛИ
Теорема 1. Пусть А — кольцо и М — модуль над А с базисом {jc,}где / — непустое множество. Пусть, далее, N есть A-модуль и —семейство элементов в N. Тогда существует
единственный гомоморфизм /: М—>А/, такой, что f(xl) = yl для всех i.
Доказательство. Пусть д; — некоторый элемент из Ж. Существует единственное семейство элементов из А, для кото-
рого
*=2 atxr
Положим
/(*)= 2 «Л-
Ясно, что / — гомоморфизм, удовлетворяющий нашим требованиям, и что это единственный такой гомоморфизм, так как мы должны иметь
/(*)= 2 ^/ОО-
Следствие 1. В обозначениях теоремы предположим, что
— базис в N. Тогда гомоморфизм / является изоморфизмом (модулей).
Доказательство. В силу симметрии существует единственный гомоморфизм
g: N-+M,
такой, что g(yl) = xt для всех i и fog и gof являются соответствующими тождественными отображениями.
Следствие 2. Два модуля, имеющие базисы одинаковой мощности, изоморфны.
Доказательство. Очевидно.
Доказательства следующих утверждений предоставляем читателю в качестве упражнений.
Пусть М — свободный модуль над А с базисом {xt}i(_j, так что
M=UAxt.
Пусть а — левый идеал в А. Тогда аМ будет подмодулем в М. Далее, &xt — подмодуль в Axt для каждого i. Имеет место изоморфизм (Л-модулей)
М/аМ я» JJ Axjaxi .
(€i
Кроме того, Axjaxt и Л/а изоморфны как Л-модули.
§ 5. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
105
Предположим дополнительно, что А коммутативно. Тогда А/а — кольцо. Кроме того, М/аМ есть свободный модуль над А/а и каждый фактормодуль Axi/axi свободен над А/а. Если хг — образ хь при каноническом гомоморфизме
Axt —> Axjaxi,
то X; служит базисом (состоящим из одного элемента) для Axl/axi над А/а.
§ 5. Векторные пространства
Модуль над полем называется векторным пространством.
Теорема 2. Пусть V — векторное пространство над полем К, причем К=^={0}. Пусть Г—множество образующих для V над К a S — некоторое линейно независимое подмножество в Г. Тогда в V существует базис <$, такой, что Scz&cГ.
Доказательство. Пусть X — множество, элементами которого служат подмножества Т из Г, содержащие S и линейно независимые. Тогда % не пусто (оно содержит S). Мы утверждаем, что X индуктивно упорядочено. Действительно, если {Гг}—совершенно упорядоченное подмножество в Т (упорядоченность по включению), то подмножество (J Tt также линейно независимо и содержит 5. Пусть SS — максимальный элемент в %, существующий по лемме Цорна. Тогда <jg линейно независимо. Пусть W—подпространство в V, порожденное <jg. Если W Ф V, то существует некоторый элемент х?Г, такой, что x(tW. Тогда U {•*} линейно независимо. Действительно, если
2«vv+^x = 0, av, b?K, то мы должны иметь Ь = 0, потому что иначе
х = — 2 b~lavy?W.
Так как в свою очередь линейно независимо, то ау = 0 для всех это и доказывает, что $ (J {х} линейно независимо вопреки максимальности <%}. Отсюда следует, что W = V и, кроме того, что 3S непусто, так как V Ф {0}. Теорема доказана.
В частности, мы видим, что если V—векторное пространство =?{0}, то всякое множество линейно независимых элементов может быть расширено до базиса, при этом базис может быть выбран из любого данного множества образующих.
106
ГЛ. ИГ. МОДУЛИ
Теорема 3. Пусть Y — векторное пространство над полем К¦ Тогда любые два базиса V над К имеют одинаковую мощность.
Доказательство. Предположим сначала, что в V существует базис из конечного числа элементов, скажем {vx, .... vm], т 1. Докажем, что любой другой базис должен также состоять из т элементов. Для этого достаточно доказать следующее: если wx, ..., wnэлементы из V, линейно независимые над К, то п^.т (так как затем мы можем использовать симметрию). Доказываем по индукции. В К существуют элементы сх.........ст, для которых
Щ = ... 4-cmvm, (1)
причем хотя бы один из них, скажем отличен от 0. Тогда vx лежит в подпространстве, порожденном над К элементами wx,
v2, .... vm, и, следовательно, это подпространство совпадает с V.
Кроме того, wx, v2........vm линейно независимы. Действительно,
предположим, что Ьх, ..., Ьт — такие элементы из К, что
bxwx-Jr b2v2-\- ... -\-bmvm — 0.
Если bx ф 0, то разделим это равенство на Ьх и выразим wx в виде
линейной комбинации элементов v2, ..., vm. Вычитание ее из (1)
дало бы тогда соотношение линейной зависимости между что невозможно. Следовательно, ^ = 0, а тогда и все bt = 0, так как vt линейно независимы.
Предположим по индукции, что после подходящей перенумерации vt мы нашли wx........wr (/"<«), для которых совокупность
|®1. .... W,. «Г41. .... Vm}
будет базисом в V. Представим wr+x в виде линейной комбинации
^+1 = ^1+ +<Vav4-<7+i*V+i+ ••• +cmVm< (2)
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 205 >> Следующая