Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Алгебра - Ленг С.

Ленг С. Алгебра — Москва , 1968. — 572 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1968.djvu
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 205 >> Следующая

где ct?K- Коэффициенты при vt в этом соотношении не все равны нулю, так как иначе существовала бы линейная зависимость между wt. Скажем, сГ+1 ф 0. Применяя рассуждение, аналогичное использованному выше, мы можем заменить vr+x на wr?l и вновь получить базис V. Это означает, что мы можем повторять эту процедуру до тех пор, пока не станет г = п, а потому п т• чт0 и доказывает нашу теорему.
Общий случай бесконечного базиса мы предоставляем в качестве упражнения читателю. [Указание', использовать тот факт, что любое конечное число элементов одного базиса содержится в пространстве, порожденном конечным числом элементов другого базиса.]
Если векторное пространство V обладает базисом из конечного числа элементов, скажем из т, то мы будем говорить, что V ко-
§ 5. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
107
нечномерно и что т— его размерность. В силу теоремы 3 мы видим, что т есть число элементов любого базиса V. Если V = {0}, то мы полагаем его размерность равной 0 и говорим, что V
0-мерно. Сокращенно размерность обозначается через ,,dim“ или „dim^, если для ясности необходима ссылка на поле К.
Имея дело с векторными пространствами, мы употребляем слова подпространство и факторпространство вместо подмодуль и фактор-модуль.
Теорема 4. Пусть V — векторное пространство над полем К, W — его подпространство. Тогда
dim^ V — dim^ W dim*. VjW.
Если f: V -> U — гомоморфизм векторных пространств над К, то
dim V = dim Ker f-\- dim Im /.
Доказательство. Первое утверждение является частным случаем второго, когда в качестве / взято каноническое отображение. Пусть {«*}(?/ — базис в Im/ и — базис в Кег/. Возьмем
семейство элементов \vi}i^[ из V, такое, что f(vj) = ut для каждого i?l. Мы утверждаем, что
to- wiher,ja
будет базисом для V. Этим, очевидно, завершается доказательство нашего утверждения.
Пусть х — элемент из V. Тогда существуют элементы в К,
почти все равные 0 и такие, что
/(¦*0=2 aiui-
i?l
Следовательно, / (х — 2 aivi) — f (х) — 2 aif (vi) — 0- Значит,
х — 2 apt
лежит в ядре /, а потому существуют элементы {bj}j^j в К, почти все равные 0 и такие, что
х — 2 aivi — 2 bjWj.
Отсюда находим, что х = 2 aivi~1r 2 bjWj, т. е. {vt, Wj) порождает V. Остается показать, что семейство [vt, Wj} линейно независимо. Предположим, что существуют элементы ct, dj, такие, что
0 = 2 с iV-, + 2 djWj.
108
ГЛ. III. МОДУЛИ
Применяя /, получаем
0 = '2iclf(vt)='2lciui,
откуда все ct = 0. Отсюда тотчас заключаем, что все dj = 0 и, следовательно, наше семейство {vt, Wj} является базисом для К над АГ, что и требовалось показать.
Следствие. Пусть V — векторное пространство и W — его подпространство. Тогда
dim W dim V.
Если V конечномерно и dim W = dim V, mo W = V.
Доказательство. Очевидно.
§ 6. Дуальное пространство
Пусть V — векторное пространство над полем К. Будем рассматривать К как 1-мерное пространство над собой. Под дуальным пространством V* к V мы будем понимать пространство Hom^V, К)*). Его элементы называются функционалами. Таким образом, функционал на V — это /С-линейное отображение /: V^-K. Если х ?V и / € то / (х) иногда обозначают через (х, /). Фиксируя х, мы видим, что выражение (х, /), рассматриваемое как функция от f?V*, /С-линейно по своему второму аргументу и, таким образом, х индуцирует линейный функционал на V*, равный 0 в том и только в том случае, если х = 0. Следовательно, мы получаем вложение V—>V**, которое не всегда сюръективно.
Пусть {хг}.?7— базис в V. Для каждого г? / обозначим через /г однозначно определенный функционал, для которого /г (xj) = бгу-(другими словами, /,(х;-)= 1, если l = j, и =0, если 1Ф j). Такое линейное отображение существует в силу общих свойств базисов (теорема 1 из § 4).
Теорема 5. Пусть V—векторное пространство конечной размерности п над полем К. Тогда dim V* = п. Если {хг, .... x„j — базис для V и /(- — функционал, для которого ft (х •) = Ьи, то \fx...../„}—базис для V*.
Доказательство. Пусть / ? V*, и пусть а?= / (xt) (/= 1, ... ,п). Имеем
(Я]/]+ ••• + «„/„) (*;)== «i/i(*/)+ ••• + <*„/„(**) = аг-
‘) В русской литературе чаще употребляется термин „сопряженное пространство". — Прим. ред.
§ 6. ДУАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО
109
Следовательно, f = a1f1-+- ... -\-anfn, и мы видим, что /г порождают V*. Кроме того, они линейно независимы, так как если
ai/i+ ••• -Jranfn — 0
с а^К, то, беря значение левой части на хг, получаем
яг/г(**) = 0,
откуда аг- = 0 для всех I. Это доказывает нашу теорему.
Следствие. Если пространство V конечномерно, то отображение V—>V**, сопоставляющее каждому x?V функционал / I—>(х, /) на V*, является изоморфизмом V на V**.
Доказательство. Это отображение — инъективный гомоморфизм. Поэтому его образ будет подпространством в V** размерности п и, следовательно, должен совпадать со всем V**.
Для данного базиса {xt} (i= 1.......п) базис {/,•}, определенный
в формулировке теоремы, называется дуальным базисом. Пользуясь этими базисами, мы можем представить любой элемент А из V посредством координат (ах..ап) и любой элемент В из V* посредством координат (bY......bn), так что
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 205 >> Следующая