Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Алгебра - Ленг С.

Ленг С. Алгебра — Москва , 1968. — 572 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1968.djvu
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 205 >> Следующая

а^~\~ ахХ —|— . . . —j— aX^t
лежащих в 91. Тогда ясно, что аг есть идеал. (Если а, b лежат в а,-, то а ± b лежит в аг; чтобы это увидеть, достаточно взять сумму и разность соответствующих многочленов. Если х?А, то xa?at— это сразу видно, если умножить соответствующий многочлен на х.) Кроме того, имеем
a0c:aic:a2c=. ..,
другими словами, наша последовательность идеалов {аг] возрастающая. Действительно, умножив упомянутый выше многочлен на X, мы найдем, что a?ai+i-
Последовательность идеалов {аг] стабилизируется, скажем, на ar:
a0c=aic=a2c=... сгаг = ar+i = ....
Пусть
aoi.....аопо — образующие для а0,
ап......аг„г— образующие для ar.
Для каждого / — 0........г и j— 1, ..., nt пусть /,у — многочлен
из 91 степени I со старшим коэффициентом atj. Мы утверждаем, что многочлены ftj составляют множество образующих для 91.
Пусть /—многочлен степени d из Й. Индукцией по d мы докажем, что / лежит в идеале, порожденном fiJ. Пусть d~^> 0. Если л? > г, то заметим, что старшие коэффициенты многочленов
Xd~rfrl..... Xd~rfTnr
порождают ad. Следовательно, существуют элементы сх........спг6^>
такие, что многочлен
f—C\Xd~rfT\ — ¦ ¦ ¦—сПгХа~Г/ГПг
имеет степень < d, причем этот многочлен также лежит в а. Если d г, то мы также можем получить многочлен степени < d, лежащий в а, вычтя некоторую линейную комбинацию
f dl • • • С ndfdnd'
Заметим, что многочлен, который мы вычли из /, лежит в идеале, порожденном /г -. По индукции мы можем найти такой многочлен g
170
ГЛ. VI. НЁТЕРОВЫ КОЛЬЦА И МОДУЛИ
в идеале, порожденном ftj, что / — ^==0, доказав тем самым нашу теорему.
Следствие. Пусть А — нётерово коммутативное кольцо, и пусть B = A[Xi......... хт] — конечно порожденное коммута-
тивное кольцо, содержащее А в качестве подкольца. Тогда В нётерово.
Доказательство. Представив В как факторкольцо кольца многочленов, применим теорему 1 и предложение 4.
§ 3. Степенные ряды
Пусть X — некоторый символ, и пусть G — моноид функций на множестве {Л-} со значениями в множестве натуральных чисел. Для всякого v?N обозначим через Xv функцию, значение которой в X равно v. Тогда G — мультипликативный моноид, с которым мы уже сталкивались при рассмотрении многочленов. Его элементами будут
Х°, Xх, X2, ..., xv......
Пусть А — коммутативное кольцо, и пусть А [ [Х\ ] — множество функций из G в А, причем на эти функции не накладывается никаких ограничений. Тогда всякий элемент из А [[Х\ ] можно рассматривать как элемент, сопоставляющий каждому одночлену Xv некоторый коэффициент av?A. Обозначим этот элемент через
ОО
2 avXy.
v = 0
Символ суммирования здесь, разумеется, только символ, но мы будем тем не менее записывать предыдущее выражение также в виде
а0Х°+...
и называть его формальным степенным рядом от одной переменной с коэффициентами в А. Мы называем а0, аи ... коэффициентами этого ряда.
Если даны два элемента из А [ [X] ], скажем
со до
2 avX^ и 2 Ь„Х*.
v = 0 |А = 0
то мы определяем их произведение
со
2 с,**.
/=0
полагая
Ci = 2 ^V^Ll*
v+n-Z
§ 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
171
Их суммой, как и в случае многочленов, будет по определению
2(av4-*v)*v.
V—О
Тогда видно, что степенные ряды образуют кольцо, причем доказательство этого факта то же самое, что и для многочленов.
Можно также построить кольцо степенных рядов от нескольких переменных А [ [_YlP ..., Хп\\, в котором каждый элемент может быть представлен в виде
2 %Х'1 • • • Кп = 2 e(vMv) (Xi........хя).
(v) w
Коэффициенты выбираемые без всяких ограничений, находятся
во взаимно однозначном соответствии с наборами из п целых чисел
.....v„), в которых v(-^ 0 для всех I. Легко показать, что
существует изоморфизм между А [ . .., Хп] ] и кольцом повтор-
ных степенных рядов А[[Хх\]. . ,[[Хп}]. Мы предоставляем это в качестве упражнения читателю.
Теорема 2. Если А нётерово, то А [ [X] ] также нётерово.
Доказательство. Наше рассуждение будет представлять собой видоизменение рассуждения, использованного при доказательстве теоремы Гильберта для многочленов. Мы будем рассматривать элементы наименьшей степени вместо элементов наибольшей степени.
Пусть 91 — идеал в А[[Х]]. Обозначим через аг множество элементов а?А, таких, что а служит коэффициентом при Х‘ в некотором степенном ряде
аХ1-1-члены более высокой степени,
лежащем в 91. Тогда а{—идеал в Л и а,-саг+1 (доказательство этого утверждения такое же, как для многочленов). Возрастающая цепочка идеалов стабилизируется:
ctgczajcn^c:... саг = аг+1 = ... .
Как и прежде, пусть atj(i = 0........г и j= 1........nt) — образую-
щие для идеалов аг, и пусть /ц — степенные ряды, имеющие ац в качестве начальных коэффициентов. Если дан ряд /? 91, начинающийся с члена степени й, скажем d^r, то мы можем найти элементы
С1......спа€А-
такие, что ряд
f ^1 f d\ * ' • ^nJ^nd
172
ГЛ. VI. НЁТЕРОВЫ КОЛЬЦА И МОДУЛИ
начинается с члена степени d~{-1. Действуя по индукции, мы можем предполагать, что d > г. Тогда, чтобы получить ряд, начинающийся с члена степени ^d-{- 1, используем линейную комбинацию
/— ciV'Vri — ... — c^xd-rfrnr.
Таким образом, если ряд начинается с члена степени d > г, то он может быть представлен как линейная комбинация степенных рядов
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 205 >> Следующая