Книги
чёрным по белому
Главное меню
Главная О нас Добавить материал Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Археология Архитектура Бизнес Биология Ветеринария Военная промышленность География Геология Гороскоп Дизайн Журналы Инженерия Информационные ресурсы Искусство История Компьютерная литература Криптология Кулинария Культура Лингвистика Математика Медицина Менеджмент Металлургия Минералогия Музыка Научная литература Нумизматика Образование Охота Педагогика Политика Промышленные производства Психология Путеводители Религия Рыбалка Садоводство Саморазвитие Семиотика Социология Спорт Столярное дело Строительство Техника Туризм Фантастика Физика Футурология Химия Художественная литература Экология Экономика Электроника Энергетика Этика Юриспруденция
Новые книги
Цуканов Б.И. "Время в психике человека" (Медицина)

Суворов С. "Танк Т-64. Первенец танков 2-го поколения " (Военная промышленность)

Нестеров В.А. "Основы проэктирования ракет класса воздух- воздух и авиационных катапульных установок для них" (Военная промышленность)

Фогль Б. "101 вопрос, который задала бы ваша кошка своему ветеринару если бы умела говорить" (Ветеринария)

Яблоков Н.П. "Криминалистика" (Юриспруденция)
Реклама

Алгебра - Ленг С.

Ленг С. Алгебра — Москва , 1968. — 572 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1968.djvu
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 205 >> Следующая

fТ11 • • • > frtlr
с коэффициентами
со со
?1 (*) = S ..., g„r (X) = 2
v=d v=d
и мы видим, что Д, порождают наш идеал 91, что и требовалось показать.
Следствн-е. Если А — поле или нётерово коммутативное кольцо, то кольцо A[[XV ...,Хп}) нётерово.
§ 4. Ассоциированные простые идеалы
В этом параграфе мы предполагаем, что А — коммутативное кольцо. Модули и гомоморфизмы, если не оговорено противное, будут A-модулями и А-гомоморфизма ми.
Предложение 6. Пусть S — мультипликативное подмножество в А, причем S не содержит 0. Тогда в А существует идеал, максимальный в множестве идеалов, не пересекающихся с S, и всякий такой идеал является простым.
Доказательство. Существование такого идеала р следует из леммы Цорна (множество идеалов, не пересекающихся с S, не пусто, так как содержит нулевой идеал, и, очевидно, является индуктивно упорядоченным). Пусть р — максимальный элемент в этом множестве.
Пусть a, b?A, ab?p, но а(?р и Ь(?р. По предположению идеалы (а, р) и (Ь, }.')¦ порожденные а и р (или b я р соответственно), пересекаются с S, а потому существуют элементы s, s' ?S, с, с' ? А, р, р'?р, такие, что
s = ca-\- р и s' = c'b ~f- р'.
Перемножив эти два выражения, получим
$ 4 АССОЦИИРОВАННЫЕ ПРОСТЫЕ ИДЕАЛЫ
173
где р" — некоторый элемент из р. Отсюда вытекает, что ss' лежит в р. Это противоречит тому факту, что ^ не пересекается с S, и тем самым доказывает, что идеал )) простой.
Элемент а кольца А называется нилъпотентным, если существует целое число п ~^\, такое, что ап = 0.
Следствие 1. Элемент а кольца А нильпотентен в том и только в том случае, если он лежит во всяком простом идеале кольца А.
Доказательство. Если ап = 0, то ап?р для всякого простого идеала р и, следовательно, а?р. Если ап Ф 0 ни для какого положительного числа п, то обозначим через S мультипликативное подмножество, состоящее из степеней а, а именно {1, а, а2, ...}, и, согласно предложению, найдем простой идеал, не пересекающийся с 5, доказав тем самым обратное предложение.
Нильрадикалом идеала ас=Л называется множество всех а?А, таких, что ап ? а для некоторого целого п'^>\ (или, что эквивалентно, множество элементов а?А, образ которых в факторкольце А/а ниль-потентен). Заметим, что нильрадикал идеала а является идеалом, поскольку из а" — 0 и Ьт = 0 следует (я-)- b)k = 0 для достаточно большого k: в биномиальном разложении либо а, либо b будет появляться в степени, не меньшей, чем п или т.
Следствие 2. Элемент а кольца А лежит в нильрадикале идеала а тогда и только тогда, когда он лежит во всяком простом идеале, содержащем а.
Доказательство. Следствие 2 эквивалентно следствию 1, примененному к кольцу А/й.
Распространим следствие 1 на модули. Сделаем сначала несколько замечаний о локализации. Пусть 5 — мультипликативное подмножество в А. Для всякого модуля М можно определить 5_1/И тем же способом, как мы определили Рассматриваем классы эквивалентности
пар (х, s), где х?М и s?S, причем две пары (х, s) и (х', s') эквивалентны, если существует элемент ^ ? S, такой, что Sj (s'x—sx') = 0. Обозначим класс эквивалентности пары (х, s) через x/s. Тотчас проверяется, что множество классов эквивалентности — аддитивная группа (относительно очевидных операций). В действительности она является Л-модулем относительно операции
(a, x/s)i—>ax/s.
Этот модуль классов эквивалентности мы и будем обозначать через 5_1/И. (Отметим, что можно было бы также рассматривать как
6’_1Л-модуль.)
174
ГЛ. VI. НЁТЕРОВЫ КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Если р — простой идеал в Л и 5 — дополнение к ? в Л, то 5_1Ж обозначается также через М$.
Из определений тривиально вытекает, что если N-+M— инъективный гэмоморфизм, то имеется естественное вложение S~lN Другими словами, если N — подмодуль в М, то S~lN можно рассматривать как подмодуль в 5_1Ж.
Если x?N и s?S, то дробь xjs может рассматриваться как элемент из S~*N или 5_1М. Если xjs = 0 в 5-1Ж, то существует элемент такой, что 5jX = 0, а это означает, что xjs есть 0 также
и в S~1N. Таким образом, если р—простой идеал и N— подмодуль в М, то имеется естественное вложение Np в Мр. Фактически мы будем отождествлять Np с подмодулем в Мр. В частности, мы видим, что Мр есть сумма своих подмодулей (Лх)^, где х ? М (но, разумеется, не прямая сумма).
Пусть х?М. Аннулятор а элемента л; — это идеал, состоящий из всех элементов я?Л, таких, что ах = 0. Имеет место изоморфизм (модулей)
Л/а —•» Ах
относительно отображения
а > ах.
Лемма. Пусть х — элемент модуля М, а — его аннулятор и р — простой идеал в А. Тогда (Ах^ =/=0 в том и только в том случае, если р содержит а.
Доказательство. Лемма является непосредственным следствием определений, и ее доказательство предоставляется читателю.
Пусть а — элемент из А. Пусть М — некоторый модуль. Гомоморфизм
ху-^-ах, х?М
будет называться главным гомоморфизмом, ассоциированным с а, и будет обозначаться через ам. Мы будем говорить, что ам локально нильпотентен, если для каждого х ? М существует такое целое число п(х1. что ап(-х'1х = 0. Из этого условия следует, что для всякого конечно порожденного подмодуля N в М существует такое целое число п ^ 1, что anN = 0: достаточно взять в качестве п наибольшую из степеней а, аннулирующих конечное множество образующих N. Поэтому если модуль М конечно порожден, то гомоморфизм ам локально нильпотентен в точности тогда, когда он нильпотентен.
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 205 >> Следующая